Presentasi sedang didownload. Silahkan tunggu

Presentasi sedang didownload. Silahkan tunggu

Bentuk Kuadrat dan Distribusinya Definisi 2.1. Sebuah matrik A berordo k x k dan merupakan sebuah vektor kolom dari variabel riil dengan ukuran k x 1,

Presentasi serupa


Presentasi berjudul: "Bentuk Kuadrat dan Distribusinya Definisi 2.1. Sebuah matrik A berordo k x k dan merupakan sebuah vektor kolom dari variabel riil dengan ukuran k x 1,"— Transcript presentasi:

1 Bentuk Kuadrat dan Distribusinya Definisi 2.1. Sebuah matrik A berordo k x k dan merupakan sebuah vektor kolom dari variabel riil dengan ukuran k x 1, maka q=y΄Ay disebut bentuk kuadrat dalam y dan A disebut matrik dari bentuk kuadrat.

2 y adalah vektor kolom k x 1, maka y΄ adalah vektor baris 1 x k. Sehingga q=y΄Ay adalah matrik 1 x 1 dimana elemennya adalah fungsi dari variabel-variabel y 1, y 2, …, y k. Jika y 1, y 2, …, y k merupakan nilai numerik maka q adalah suatu skalar. q merupakan fungsi dalam bentuk matrik, jika dinyatakan dalam bentuk jumlah kuadrat dan bentuk perkalian dari y, maka bentuknya adalah

3 Definisi 2.2. Bentuk kuadrat y΄Ay disebut positive definite jika y΄Ay>0 untuk semua y≠0, disebut positive semidefinite jika y΄Ay≥0 untuk semua y dan y΄Ay=0 untuk beberapa y≠0. Theorema 2.1. Matrik simetris A adalah positive definite jika dan hanya jika semua nilai akar cirinya positif. Theorema 2.2. Matrik simetris A adalah positive semidefinite jika dan hanya jika semua akar cirinya tidak negatif dan minimal satu akar ciri sama dengan nol.

4 Theorema 2.3. Misalkan A adalah matriks positive definite yang dinyatakan dalam bentuk pastisi sebagai berikut: dimana A 11 dan A 22 adalah matrik bujur sangkar. Mis juga B=A -1 dimana Dan dimensi dari B 11 dan B 22 sama dengan dimensi dari A 11 dan A 22. Maka

5 Turunan dari Bentuk Kuadrat Suatu skalar z dapat dinyatakan sebagai fungsi dari k variabel y 1, y 2, …, y k : z=f(y 1, y 2, …, y k )=f(y) Kita dapat tentukan k turunan parsial dari fungsi di atas, dengan diturunkan terhadap setiap variabel y.

6 Contoh: dan Diketahui bentuk kuadrat z=y΄Ay, dalam bentuk fungsi sebagai berikut:

7 Turunan parsialnya adalah: sehingga:

8

9 Definisi 2.3. [Ekpektasi dari vektor random] Vektor dari random variabel E[y i ]=μ i, i = 1, 2, …, k, maka

10 Rules of Expectation 1.Jika a sebuah vektor bilangan riil, maka E[a]=a 2.Jika a sebuah vektor skalar k x 1 dan y random vektor k x 1 dengan ekpektasi μ, maka E[a΄y]=a΄E[y]= a΄μ 3.Jika A matrik n x k dan y vektor random k x 1 dengan ekpektasi μ, maka E[Ay]=AE[y]=Aμ

11 Varians dari vektor random Varians dari variabel random individual Y adalah nilai harapan dari variabilitas pengukuran dari Y disekitar rata-ratanya μ. Pada dua variabel Yi dan Yj dengan rata-ratanya adalah μi dan μj, covariansnya adalah cov[Yi,Yj]=E[(Yi- μi)(Yj- μj)].

12 Definisi 2.4 Misal: adalah vektor random dengan var Y i =σ ij =σ i 2, i= 1, 2, …, k cov(Y i, Y j )= σ ij, i≠j; dan E[Y]=μ,. Varians dari Y, dinotasikan dengan var Y atau V, adalah matrik k x k : Var Y = V = E[(Y-μ)(Y-μ)΄]

13 Rules of Variance 1.Jika Y sebuah vektor random dengan Var Y = V. Dan Z= a΄Y dengan a vektor bilangan riil, maka Var a΄Y = a΄Va 2.Y adalah sebuah vektor random dengan Var Y = V, dan A adalah matrik k x k. Jika Z = AY maka Var Z = AVA΄

14 Misal adalah vektor random dengan var y i = σ 2, i=1,2,3. Asumsikan bhw y 1, y 2, y 3 independen dan berdampak σ 12 = σ 13 = σ 23 = 0. Matriks variance- covariance dari y adalah:

15 Asumsikan bhw X adalah matrik rank penuh berukuran n x k, sehigga X´X mrpk matrik nonsingular. Jika diketahui z = (X´X ) -1 X´y Berdasarkan aturan 2 dengan A = (X´X ) -1 X´, diperoleh var z = AVA´= (X´X ) -1 X´ σ 2 I [(X´X ) -1 X´]´ = (X´X ) -1 X´ (X´)´[(X´X) -1 ]´ σ 2 = (X´X ) -1 X´X [(X´X)´] -1 σ 2 = (X´X ) -1 σ 2

16 Theorema Mis y adalah vektor random k x 1 dengan E[y]=μ dan var y = V. Dan A adalah matrik bilangan riil berukuran k x k. Maka E[y´Ay]=tr(AV)+ μ ´Aμ Bukti: Untuk i≠j σ ij =E[y i, y j ]- μ i μ j Untuk i=j σ ij = σ ii =E[y i 2 ]- μ i 2

17 E[y´Ay]


Download ppt "Bentuk Kuadrat dan Distribusinya Definisi 2.1. Sebuah matrik A berordo k x k dan merupakan sebuah vektor kolom dari variabel riil dengan ukuran k x 1,"

Presentasi serupa


Iklan oleh Google