Presentasi sedang didownload. Silahkan tunggu

Presentasi sedang didownload. Silahkan tunggu

Matriks dan Ruang Vektor. Cakupan materi dan prasyarat Cakupan Pengetahuan Dasar Kesamaan matriks Jumlahan matriks Perkalian matriks dengan skalar Perkalian.

Presentasi serupa


Presentasi berjudul: "Matriks dan Ruang Vektor. Cakupan materi dan prasyarat Cakupan Pengetahuan Dasar Kesamaan matriks Jumlahan matriks Perkalian matriks dengan skalar Perkalian."— Transcript presentasi:

1 Matriks dan Ruang Vektor

2 Cakupan materi dan prasyarat Cakupan Pengetahuan Dasar Kesamaan matriks Jumlahan matriks Perkalian matriks dengan skalar Perkalian dua matriks Matriks inverse Materi -1: Sistem Persamaan Linier Operasi baris elementer

3 Matriks Matriks adalah susunan bilangan-bilangan yang terdiri atas baris-baris dan kolom-kolom. Masing-masing bilangan dalam matriks disebut entri atau elemen. Ordo (ukuran) matriks adalah jumlah baris kali jumlah kolom. a 11 a 12 …….a 1j ……a 1n a 21 a 22 ……a 2j …….a 2n : : a i1 a i2 ……a ij …….. a in : : a m1 a m2 ……a mj ……. a mn A = baris kolom Notasi: Matriks: A = [a ij ] Elemen: (A) ij = a ij Ordo A: m x n

4 Matriks persegi Matriks persegi (bujur sangkar) adalah matriks yang jumlah baris dan jumlah kolom sama Trace(A) = Trace dari matriks adalah jumlahan elemen-elemen diagonal utama diagonal utama

5 Matriks nol dan identitas matriks nol adalah matriks yang semua elemennya nol I2I2 I3I3 I4I4 matriks identitas adalah matriks persegi yang elemen diagonal utamanya 1 dan elemen lainnya 0

6 Kesamaan dua matriks Dua matriks sama jika ukuran sama dan setiap entri yang bersesuaian sama A = B = C = D = E = x F = G =H = ?????????????????? A = B C ≠ D E = F jika x = 1 G = H

7 Jumlahan dan pengurangan dua matriks Contoh A = B = A + B = = =A - B = Apa syarat agar dua matriks dapat dijumlahkan? Jawab: ordo dua matriks tersebut sama A = [aij] dan B = [bij] berukuran sama, A + B didefinisikan: (A + B)ij = (A)ij + (B)ij = aij + bij

8 Latihan: Jumlahan dua matriks (lanjutan) C = D = C + D = ???????????? K = L = K + L = ?????????????????? D + C = L + K = Apa kesimpulanmu? Apakah jumlahan matriks bersifat komutatif?

9 Quiz: Jumlahan dua matriks Quiz: 1.C + D =… 2.C + E = … 3.A + B = … C = D = E = A = B = C +D = Feedback:

10 Hasil kali skalar dengan matriks Contoh: A = 5A = 5x5 5x6 5x1 5x7 5x2 5x = H = H = 50A Catatan: Pada himpunan Mmxn, perkalian matriks dengan skalar bersifat tertutup (menghasilkan matriks dengan ordo yang sama) Diberikan matriks A = [aij] dan skalar c, perkalian skalar cA mempunyai entri-entri sebagai berikut: (cA) ij = c.(A) ij = ca ij Apa hubungan H dengan A?

11 Hasil kali skalar dengan matriks (lanjutan) K 3 x K = K = K =

12 Latihan: Hasil kali skalar dengan matriks Diketahui bahwa cA adalah matriks nol. Apa kesimpulan Anda tentang A dan c? A = c = 0 c = 7 cA = 0*20*70*2 0*50*20* =cA = 7*07*07*0 Kasus 1: c = 0 dan A matriks sembarang. Kasus 2: A matriks nol dan c bisa berapa saja. Contoh: kesimpulan

13 Perkalian matriks A = B = A B = =

14 Perkalian matriks (lanjutan) Definisi: Jika A = [a ij ] berukuran m x r, dan B = [b ij ] berukuran r x n, maka matriks hasil kali A dan B, yaitu C = AB mempunyai elemen-elemen yang didefinisikan sebagai berikut: r ∑ a ik b kj = a i1 b 1j +a i2 b 2j +………a ir b rj k = 1 (C) ij = (AB) ij = A = B = Tentukan AB dan BA ABAB m x r r x nm x n Syarat:

15 Perkalian matriks (lanjutan) A = B = A B = = BA tidak didefinisikan

16 Perkalian matriks (lanjutan) 1.Diberikan A dan B, AB dan BA terdefinisi. Apa kesimpulanmu? 2. AB = O matriks nol, apakah salah satu dari A atau B pasti matriks nol? 2 3 A = B = 0 AB = B A n x k m x n m = k AB mxm AB nxn AB dan BA matriks persegi AB matriks nol, belum tentu A atau B matriks nol A B n x k m x n

17 Latihan: Perkalian matriks (lanjutan) Tentukan hasil kalinya jika terdefinisi. A B = ?? AC = ?? BD = ?? CD = ?? DB = ?? A = B = C = D =

18 Perpangkatan matriks Contoh: A = A 2 = A 3 = A x A 2 = A 0 = I A n = n faktor A n+m = A n A m A A A …A

19 Penyajian SPL dalam persamaan matriks SPL dalam bentuk: dapat disajikan dalam bentuk persamaan matriks: a 11 x 1 + a 12 x 2 + a 13 x 3 +…....a 1n x n = b 1 a 21 x 1 + a 22 x 2 + a 23 x 3 +…….a 2n x n = b 2 : a m1 x 1 + a m2 x 2 + a m3 x 3 + ……a mn x n = b m a 11 a 12 ……...a 1n a 21 a 22 ……..a 2n : : : a m1 a m2 …… a mn x1x2:xnx1x2:xn = b1b2:bnb1b2:bn A: matriks koefisien Ax = b xb

20 Contoh: Penyajian SPL dengan persamaan matriks x 1 + 2x 2 + x 3 = 6 -x 2 + x 3 = 1 4x 1 + 2x 2 + x 3 = 4 SPL x1x2x3x1x2x3 = x 1 +2.x x 3 0.x x x 3 4.x 1 +2.x x 3 =

21 Perkalian matriks sebagai fungsi: rotasi Matriks rotasi 45 derajat A dan vektor x ½√2 -½√2 -½√2 ½√2 A = A x = ½√2 -½√ = x y x x ’ = Ax = x = π/ ½√2 -½√2

22 Perkalian dengan matriks identitas A= A.I = = I.A = =

23 Perkalian dengan matriks identitas AB = A dan BA = A, apa kesimpulanmu? AB = A dan BA = A, maka B = I (I matriks identitas) = = A A I I A ==

24 Inverse matriks B adalah inverse dari matriks A, jika AB = BA = I matriks identitas, ditulis B = A ½ -½ -½ ½ -½ 1 -½ -½ Contoh A I A -1 A = = ½ -½ -½ 1 = = AA -1 AI ½ -½ 1 -½ -½ = = B B -1 B I

25 Inverse matriks 2x ½ -½ -½ d -b -c a 1 ad - bc Jika ad –bc = 0 maka A TIDAK mempunyai inverse. = A I A -1 a b c d A = A -1 = =

26 Contoh: Inverse matriks 2x A = I = = A -1

27 Quiz: inverse matriks 1. Kapan matriks TIDAK mempunyai inverse? 2. Tentukan inverse matriks berikut ini d a b c d. 2/3 -1/5 -1/5 5/3 a. ad-bc = 0 b. tidak mempunyai inverse c. tidak mempunyai inverse

28 Transpose Definisi: Transpose mariks A adalah matriks A T kolom-kolomnya adalah baris-baris dari A, baris-barisnya adalah kolom-kolom dari A A = A T = A ’ = Jika A adalah matriks m x n, maka matriks transpose A T berukuran ……….. [A T ] ij = [A] ji n x m

29 Matriks Simetri Matriks A disebut simetris jika dan hanya jika A = A T A = A ’ = A simetri A == A T

30 Matriks ortogonal Matriks A orthogonal jika dan hanya jika A T = A – A = AT=AT= B = ½√2 -½√2 ½√2 BT=BT= -½√2 ½√2 Jika A adalah matriks orthogonal, maka (A -1 ) T = (A T ) -1 = A -1 = B -1 (A -1 ) T = (A T ) -1 A -1 A T

31 Sifat-sifat transpose matriks A ATAT (A T ) T (A T ) T = A 1.Transpose dari A transpose adalah A: = A Contoh:

32 Sifat-sifat transpose matriks 2. (A+B) T = A T + B T A+B (A+B) T T BTBT B T A T ATAT = = + +

33 Sifat-sifat transpose matriks 3. (kA) T = k(A) T untuk skalar k kA (kA) T = k(A) T A T T k

34 Sifat-sifat transpose matriks 4. (AB) T = B T A T (AB) T ABAB T T A B T = AB = B T A T

35 Quiz: Isilah titik-titik di bawah ini 1.A simetri maka A + A T = …….. 2.((A T ) T ) T = ……. 3.(ABC) T = ……. 4.((k+a)A) T = … (A + B + C) T = ………. Kunci: 1.2A 2.A T 3.C T B T A T 4.(k+a)A T 5.A T + B T + C T

36 Mengingat kembali 1.Sebutkan 3 operasi baris elementer 2.Diberikan matriks identitas 3x3. Terapkan satu, dua dan tiga kali operasi baris elementer pada matriks identitas tersebut. 3.Berapa kali operasi baris elementer kamu terapak untuk memperoleh E dari matriks identitas I? 4. Minimal berapa kali kamu menerapkannya untuk memperoleh E? tiga kali Salah satu jawaban: 7 kali yaitu, [1] kalikan brs kedua dengan 7, [2-4] tiga kali tukar baris 3 dan 4, [5]kalikan 2 baris pertama, [6] kalikan 5 baris pertama

37 Matriks elementer Operasi baris elementer pada matriks 1. mengalikan baris dengan kontanta tidak nol 2. menukarkan posisi dua baris 3. baris dijumlahkan dengan skalar kali baris yang lain Definisi: Matriks elementer adalah matriks yang dapat diperoleh dari matriks identitas dengan melakukan tepat satu kali operasi B 1 dan B 2 bukan matriks elementer, E 1 dan E 2 matriks elementer.

38 Matriks elementer (lanjutan) R 2  7* R minimal 3 kali obe R 3  R 4 minimal 2 kali obe

39 Matriks elementer (lanjutan) R 2  4* R 2 R 3  R R 1  4R 2 +R

40 Inverse matriks elementer E 1 = R 2   R (E 1 ) -1 = = E3=E3= R 2  2 R E 3 = R 1  R 1 +2R (E 3 ) -1 = = ½ (E 2 ) -1 = = ½

41 Matriks elementer (lanjutan) R 2  4* R 2 R 3  R R 1  4R 2 +R R 2  (1/4)* R 2 R 3  R R 1  - 4R 2 +R / E1=E1=E 1 -1 = E2=E2= E3=E3= E 2 -1 = E 3 -1 =

42 Inverse matriks elementer (lanjutan) I  EI  E -1 Mengalikan baris ke dengan konstanta tak nol k Mengalikan baris ke i dengan konstanta tak nol 1/k Menukar baris ke i dengan baris ke j Baris ke i ditambah k kali baris ke j Baris ke i dikurangi k kali baris ke j Kesimpulan: Setiap matriks elementer mempunyai inverse dan inverse matrks elementer adalah matriks elementer

43 Latihan: inverse matriks elementer Tentukan inverse matriks elementer berikut ini Jawaban: E1E1 E2E2 E3E / E 1 -1 E 3 -1 E 2 -1

44 Sifat-sifat 1.Inverse dari matriks jika ada adalah tunggal: Jika B = A -1 dan C = A -1, maka B = C A = ½ -½ -½ 1 A (A -1 ) -1 = A ? (A -1 ) -1 = ½ -½ -½ 1 A -1 = A

45 Sifat-sifat (lanjutan) 3.Jika A mempunyai inverse maka A n mempunyai inverse dan (A n ) -1 = (A -1 ) n, n = 0, 1, 2, 3,… A = A 3 = ½ -½ -½ 1 A -1 = = (A 3 ) -1 = (A -1 ) 3 = ½ -½ -½ 1 ½ -½ -½ 1 ½ -½ -½ 1 = sama

46 Sifat-sifat (lanjutan) 4.Jika k skalar tidak nol, maka (kA) -1 = 1/k A (5 A) -1 = /5 (A) -1 = 1/5 = ½ -½ -½ 1 (5A) ==5 sama

47 Sifat-sifat (lanjutan) 5.(AB) -1 = B -1 A A = B = B -1 = ½ 5/4 ½ - ¾ (AB) -1 = = A -1 B -1 = ½ 5/4 ½ - ¾ ½ -½ -½ 1 = B -1 A -1 = ½ 5/4 ½ - ¾ ½ -½ -½ 1 =

48 Perkalian dengan matriks elementer E A E A R2  4R2 I Mengalikan matriks A dari kanan dengan matriks elementer (EA) sama efeknya dengan menerapkan operasi baris elementer (yang sama dengan operasi baris elementer untuk mendapat kan E dari I) pada A.

49 Matriks elementer dan operasi baris elementer Diterapkan obe pada matriks A R1  R3 I E R1  R3 R2  ½ R2 I E R2  ½ R2 R1  R1 + 2R2 I E R1  R1 + 2R2 = E E E = = Hasilnya sama dengan EA EA

50 Mengingat kembali: Menerapkan operasi baris elementer pada matriks A sama dengan mengalikan A dari kanan dengan matriks elementer yang sesuai. Bentuk eselon baris tereduksi dari matriks persegi adalah matriks identitas atau matriks dengan baris nol Matriks persegi yang mempunyai inverse dapat direduksi menjadi matriks identitas dengan serangkaian operasi baris elementer. Kita akan menerapkan operasi baris elementer untuk menentukan inverse matriks.

51 Mencari inverse dengan operasi baris elementer obe1 obe 2 ….. obe s A  I Es Es-1 ….E2 E1 A Setiap penerapan operasi baris elemener ke i, obe-i pada A, sama dengan mengalikan dengan Ei dari kanan dengan A. Jadi, Es Es-1 ….E2 E1 A = I (kelompokkan Es sd E1, namakan B) BA= I Maka B = A-1 Es Es-1 ….E2 E1 = A-1 Es Es-1 ….E2 E1 I = A-1 Sehingga, jika obe1 obe 2 ….. obe s diterapkan berturut-turut pada matriks identitas I maka akan dihasilkan A-1 obe1 obe 2 ….. obe s I  A-1 Prosedur: [A|I]  [I | A-1] [Contoh1: matriks 2x2 A [A|I]  [I | A-1] Contoh2:penerapan metode di atas untuk menentukan inverse matriks 3x3. (pilih matriks yang sederhana) ]

52 Mencari inverse dengan operasi baris elementer obe1 obe 2 ….. obe s A I E s …. E 2 E 1 A Matriks persegi yang mempunyai inverse dapat direduksi menjadi matriks identitas dengan serangkaian operasi baris elementer. Setiap penerapan operasi baris elemener ke i, obe-i pada A, sama dengan mengalikan dengan Ei dari kanan dengan A. E s E s-1 ….E 2 E 1 A = I Inverse matriks A dapat diperoleh dengan serangkaian operasi baris elementer pada A. A -1 obe1 obe 2 ….. obe s I A -1 E s …. E 2 E 1 A

53 Mencari inverse dengan operasi baris elementer (lanjutan) Prosedur: Menentukan A -1 Diberikan matriks Anxn yang mempunyai inverse 1.Bentuk matriks [A|I] 2.Terapkan operasi baris elementer pada matriks [A|I] sedemikian hingga A telah tereduksi menjadi matriks identitas I. maka pada saat yang sama I berubah menjadi A-1. [I | A -1 ] obe obe… obe [A | I]

54 Contoh: A = A -1 = ½ -½ -½ ½ 1/ ½ 1/ ½ ½ -½ 0 1 -½ 1 Baris pertama kali 1/4 Brs kedua dikurangi 2 kali brs pertama Brs pertama dikurangi 1/2 kali brs kedua I A -1

55 Quiz: A. BENAR atau SALAH 1.Perkalian matriks bersifat komutatif komutatif. 2. Menerapkan operasi baris elementer ei pada A hasilnya sama dengan EA, dengan E matriks elementer untuk memperoleh E dari I. 3.Setiap matriks elementer mempunyai inverse dan inversenya juga elementer B. Pada prodesur apa saja operasi baris elementer digunakan? 1.Menyelesaikan sistem persamaan linier 2.Mencari inverse matriks, jika ada salah benar

56 Refleksi 1.Buatlah daftar konsep-konsep kunci dari modul ini. (Sebagi contoh: matriks persegi, jumlahan matriks-matriks, dsb) 2.Buatlah daftar permasalahan yang muncul pada materi yang diberikan dalam modul ini. 3.Buatlah daftar prosedur permasalahan yang ada pada daftar yang kamu hasilkan pada peranyaan nomor 2. 4.Berilah tanda pada daftar materi yang telah kamu fahami dengan baik.


Download ppt "Matriks dan Ruang Vektor. Cakupan materi dan prasyarat Cakupan Pengetahuan Dasar Kesamaan matriks Jumlahan matriks Perkalian matriks dengan skalar Perkalian."

Presentasi serupa


Iklan oleh Google