Presentasi sedang didownload. Silahkan tunggu

Presentasi sedang didownload. Silahkan tunggu

PEMROGRAMAN LINIER Pertemuan 2. Pengantar Program Linier (PL) Dari contoh-contoh yang telah disampaikan pada Pertemuan I, terlihat bahwa terdapat suatu.

Presentasi serupa


Presentasi berjudul: "PEMROGRAMAN LINIER Pertemuan 2. Pengantar Program Linier (PL) Dari contoh-contoh yang telah disampaikan pada Pertemuan I, terlihat bahwa terdapat suatu."— Transcript presentasi:

1 PEMROGRAMAN LINIER Pertemuan 2

2 Pengantar Program Linier (PL) Dari contoh-contoh yang telah disampaikan pada Pertemuan I, terlihat bahwa terdapat suatu pola tertentu dalam memodelkan suatu masalah Program Linier (PL). Untuk menyelesaikan masalah PL, selalu ditentukan variabel keputusan, fungsi tujuan, dan fungsi batasan.

3 Bentuk umum dari model PL Fungsi tujuan : Memaksimumkan (Meminimumkan) Fungsi batasan : untuk semua i = 1, 2, …, m semua Xj > 0 Keterangan :  Xj = Kegiatan j, di mana j = 1, 2, …., n  Z = nilai dari fungsi tujuan  Cj = parameter per unit kegiatan  bi = jumlah sumber daya i (i = 1, 2, …, m),  aij = banyaknya sumber daya i yang dikonsumsi oleh kegiatan j

4 Asumsi Model Program Linier Linierity Yaitu fungsi tujuan dan semua fungsi batasan merupakan fungsi linier dari variabel-variabel keputusan. Additivity Yaitu tidak ada penyesuaian pada perhitungan variabel keputusan yang disebabkan karena terjadinya interaksi. Divisibility Yaitu nilai solusi yang diperoleh untuk Xj merupakan variabel kontinu. Deterministic Yaitu semua parameter model (Cj, aij, dan bj) diasumsikan diketahui dengan kepastian (certainty).

5 Istilah-Istilah dalam Program Linier Solution : jawaban akhir dari suatu masalah PL. Feasible solution : penyelesaian yang memenuhi (tidak melanggar) batasan-batasan yang ada. No-feasible solution : tidak ada penyelesaian yang feasible (tidak ada penyelesaian yang memenuhi batasan-batasan yang ada). Optimal solution : feasible solution yang mempunyai nilai tujuan yang optimal atau terbaik. Multiple optimal solution : terdapat beberapa alternatif solusi optimal dalam satu masalah. No- optimal solution : tejadi apabila suatu masalah tidak mempunyai jawaban atau penyelesaian optimal.

6 Setelah membuat model matematis dari masalah program linier, maka langkah berikutnya adalah pemecahan model untuk pengambilan keputusan, yaitu dengan menggunakan :  Metode grafik  Metode simpleks

7 METODE GRAFIK

8 Pendahuluan Masalah program linier yang dapat diselesaikan dengan metode grafik hanya terbatas pada masalah yang mempunyai 2 variabel keputusan, karena dapat digambarkan dalam dua dimensi grafik. Model dengan 3 variabel keputusan akan memerlukan penggambaran dalam 3 dimensi grafik, di mana prosesnya akan sangat sulit. Sedangkan model dengan 4 atau lebih variabel keputusan tidak dapat dibuat grafik sama sekali.

9 Tahapan Yang Dilakukan Dalam Metode Grafik 1.Menentukan fungsi tujuan dan fungsi batasan dalam bentuk matematis. 2.Gambarkan masing-masing garis fungsi batasan pada dua dimensi grafik (sistem sumbu koordinat). 3.Tentukan daerah feasible-nya, yaitu himpunan semua titik yang memenuhi batasan. 4.Tentukan penyelesaian feasible-nya, yaitu satu titik pada daerah feasible yang mengakibatkan harga Z optimal.

10 Contoh 1: Fungsi tujuan : Maks Z = 4 X X 2 Fungsi batasan : X X 2 < 40 4 X X 2 < 120 X 1, X 2 > 0

11

12 Dengan melihat perpotongan yang ada, maka terdapat 3 alternatif harga X 1 dan X 2 yaitu : X1X1 X2X2 SOLUSI 020Z = (4).(0) + (5).(20) = Z = (4).(30) + (5).( 0) = Z = (4).(24) + (5).(8) = 136 Dari hasil di atas terlihat bahwa nilai maksimum dari Z adalah 136. Sehingga solusi optimal adalah X 1 = 24, X 2 = 8, dan Z = 136.

13 Contoh 2 : Fungsi tujuan : Min Z = 6 X X 2 Fungsi batasan : 2 X X 2 > 16 X X 2 > 24 X 1, X 2 > 0

14 Contoh 3 : Fungsi tujuan : Maks Z = 5 X 1 + X 2 Fungsi batasan : 3 X X 2 = 24 X 1 < 6 X X 2 < 12 X 1, X 2 > 0

15 Solusi Metode Grafik Untuk Kasus Khusus : Solusi Optimal Banyak Fungsi tujuan : Maks Z = 3 X X 2 Fungsi batasan : 6 X X 2 < 240 X 1 + X 2 < 50 X 1, X 2 > 0

16 Tanpa Solusi Feasible Fungsi tujuan : Maks Z = 3 X X 2 Fungsi batasan : 6 X X 2 < 240 X 1 + X 2 < 50 X 1 > 30 X 2 > 20 X 1, X 2 > 0

17 Solusi Tidak Terbatas Fungsi tujuan : Maks Z = 2 X 1 - X 2 Fungsi batasan : X 1 - X 2 < 1 2 X 1 + X 2 > 6 X 1, X 2 > 0

18 METODE SIMPLEKS

19 Pendahuluan Merupakan metode yang umum digunakan untuk menyelesaikan seluruh problem program linier, baik yang melibatkan dua variabel keputusan maupun lebih dari dua variabel keputusan.

20 Metode simpleks pertama kali diperkenalkan oleh George B. Dantzig pada tahun 1947 dan telah diperbaiki oleh beberapa ahli lain. Metode penyelesaian dari metode simpleks ini melalui perhitungan ulang (iteration) dimana langkah-langkah perhitungan yang sama diulang-ulang sebelum solusi optimal diperoleh

21 Penyelesaian Dengan Metode Simpleks Syarat :  Model program linier (  Canonical form) harus dirubah dulu kedalam suatu bentuk umum yang dinamakan ”bentuk baku” (standard form).

22 Ciri-ciri dari bentuk baku model program linier Semua fungsi kendala/pembatas berupa persamaan dengan sisi kanan non-negatif. Semua variabel keputusan non-negatif. Fungsi tujuan dapat memaksimumkan maupun meminimumkan

23 dapat dituliskan : Fungsi tujuan : Maks / Min Z = CX Fungsi pembatas : AX = b X > 0

24 Perlu diperhatikan : Bahwa metode simpleks hanya bisa dipakai (diaplikasikan) pada bentuk standar, sehingga kalau tidak dalam bentuk standar harus ditransformasikan dulu menjadi bentuk standar.

25 Untuk memudahkan melakukan transformasi ke bentuk standar, beberapa hal yang perlu diperhatikan : Fungsi Pembatas  Suatu fungsi pembatas yang mempunyai tanda < diubah menjadi suatu bentuk persamaan (bentuk standar) dengan cara menambahkan suatu variabel baru yang dinamakan slack variable (variabel pengurang).

26 Fungsi Tujuan  Dengan adanya slack variable pada fungsi pembatas, maka fungsi tujuan juga harus disesuaikan dengan memasukkan unsur slack variable ini.  Karena slack variable tidak mempunyai kontribusi apa-apa terhadap fungsi tujuan, maka konstanta untuk slack variable tersebut dituliskan nol.

27 Contoh 1 : Fungsi tujuan : Maks Z = 4 X1 + 5 X2 Fungsi pembatas : X1 + 2 X2 < 40 4 X1 + 3 X2 < 120 X1, X2 > 0 Rubahlah menjadi bentuk standar.

28 Untuk merubah menjadi bentuk standar, maka harus menambahkan slack variable, menjadi : X1 + 2 X2 < 40  X1 + 2 X2 + S1 = 40 4 X1 + 3 X2 < 120  4 X1 + 3 X2 + S2 = 120 Setelah ditambahkan slack variable, maka fungsi tujuan menjadi : Maks Z = 4 X1 + 5 X2 + 0 S1 + 0 S2

29 Contoh 2 : Fungsi tujuan : Maks Z = 60 X X2 +20 X3 Fungsi pembatas : 8 X1 + 6 X2 + X3 < 48 4 X1 + 2 X2 < 20 2 X1 + 1,5 X2 + 1,5 X3 < 8 X2 < 5 X1, X2, X3 > 0

30 dengan menambahkan slack variable, menjadi : 8 X1 + 6 X2 + X3 < 48  8 X1 + 6 X2 + X3 + S1 = 48 4 X1 + 2 X2 < 20  4 X1 + 2 X2 + S2 = 20 2 X1 + 1,5 X2 + 1,5 X3 < 8  2 X1 + 1,5 X2 + 1,5 X3 + S3 = 8 X2 < 5  X2 + S4 = 5 Setelah ditambahkan slack variable, maka fungsi tujuan menjadi : Maks Z = 4 X1 + 5 X2 + 0 S1 + 0 S S3 + 0 S4

31 Contoh 3 : Fungsi tujuan : Min Z = 2 X1 - 3 X2 Fungsi pembatas : X1 + X2 < 4 X1 - X2 < 6 X1, X2 > 0

32 dengan menambahkan slack variable, menjadi: X1 + X2 < 4  X1 + X2 + S1 = 4 X1 - X2 < 6  X1 - X2 + S2 = 6 Setelah ditambahkan slack variable, maka fungsi tujuan menjadi : Min Z = 2 X1 - 3 X2 + 0 S1 + 0 S2

33 Metode dan Tabel Simpleks Setelah fungsi batasan dirubah ke dalam bentuk persamaan (bentuk standar), maka untuk menyelesaikan masalah program linier dengan metode simpleks dibutuhkan matriks A yang berisi variabel basis dan variabel non-basis. pada contoh 1, diperoleh matriks A yaitu:

34 Variabel basis adalah S1 dan S2, sedangkan variabel non-basis adalah variabel X1 dan variabel X2 Matriks basis biasanya dinyatakan dengan BFS (Basis Feasible Solution), dan dituliskan dengan matriks B (  matriks identitas) yaitu :

35 Tabel Simpleks Langkah-langkah penyelesaian dalam metode simpleks adalah dengan menggunakan suatu kerangka tabel yang disebut dengan tabel simpleks. Tabel ini mengatur model ke dalam suatu bentuk yang memungkinkan untuk penerapan penghitungan matematis menjadi lebih mudah

36 Langkah-langkah metode simpleks Mengubah bentuk batasan model pertidaksamaan menjadi persamaan. Membentuk tabel awal untuk solusi feasible dasar pada titik orijin dan menghitung nilai- nilai baris zj dan cj – zj.

37 Contoh bentuk tabel simpleks cjVariabel4500 BasisKuantita s X1X1 X2X2 S1S1 S2S2 0S1S S2S zj00000 cj - zj4500

38 Langkah-langkah metode simpleks Menentukan kolom pivot (kolom pemutar) dengan cara memilih kolom yang memiliki nilai positif terbesar pada baris cj – zj. Kolom pivot ini digunakan untuk menentukan variabel non-basis yang akan masuk ke dalam variabel basis.

39 Langkah-langkah metode simpleks cjVariabel4500 BasisKuantita s X1X1 X2X2 S1S1 S2S2 0S1S S2S zj00000 cj - zj4500

40 Menentukan baris pivot (baris pemutar) dengan cara membagi nilai-nilai pada kolom kuantitas dengan nilai-nilai pada kolom pivot, kemudian memilih baris dengan hasil bagi yang non- negatif terkecil. Baris pivot ini digunakan untuk menentukan variabel basis yang akan keluar dari variabel basis.

41 Langkah-langkah metode simpleks cjVaria bel 4500Kuan Titas BasisKuan titas X1X1 X2X2 S1S1 S2S2 /kol pivot 0S1S /2 = 20 0S2S /3=40 zj00000 cj - zj4500

42 Perpotongan antara kolom pivot dan baris pivot diperoleh nilai pivot. Mengubah nilai baris pivot yang baru dengan cara : Sehingga pada tabel baru, nilai pivot menjadi 1.

43 Langkah-langkah metode simpleks cjVaria bel 4500 BasisKuan Titas X1X1 X2X2 S1S1 S2S2 5X2X2 40/21/22/21/20/2 zj cj - zj

44 Langkah-langkah metode simpleks cjVaria bel 4500 BasisKuan Titas X1X1 X2X2 S1S1 S2S2 5X2X2 201/21 0 zj cj - zj

45 Menghitung nilai baris lainnya dengan cara : Menghitung baris-baris zj dan cj – zj. Menentukan apakah solusi telah optimal dengan cara mengecek baris cj – zj. Jika nilai cj – zj adalah nol atau negatif, maka solusi telah optimal. Tetapi jika masih terdapat nilai positif, maka kembali ke langkah c dan mengulangi kembali langkah-langkah selanjutnya.

46 kolom nilai baris –| koefisien kol * nilai | lama | pemutar baris| =nilai akhir | yg berhubungan | Kuantitas (3 X 20 ) = 60 X1 4 - (3 X 1/2 ) = 5/2 X2 3 - (3 X 1 ) = 0 S1 0 - (3 X 1/2 ) = - 3/2 S2 1 - (3 X 0 ) = 1

47 Langkah-langkah metode simpleks cjVaria bel 4500Kuan Titas BasisKuan Titas X1X1 X2X2 S1S1 S2S2 /kol pivot 5X2X2 201/ S2S2 605/20-3/21 24 zj 1005/25 0 cj - zj 3/20-5/20

48 Langkah-langkah metode simpleks cjVaria bel 4500Kuan Titas BasisKuan Titas X1X1 X2X2 S1S1 S2S2 /kol pivot 4 X1X zj cj - zj

49 Langkah-langkah metode simpleks cjVaria bel 4500Kuan Titas BasisKuan Titas X1X1 X2X2 S1S1 S2S2 /kol pivot 5X X1X zj cj - zj

50 Contoh 1: Fungsi tujuan : Maks Z = 4 X1 + 5 X2 Fungsi pembatas : X1 + 2 X2 < 40 4 X1 + 3 X2 < 120 X1, X2 > 0 Selesaikan dengan metode simpleks

51 Contoh 2: Fungsi tujuan : Maks Z = 60 X X X3 Fungsi pembatas : 8 X1 + 6 X2 + X3 < 48 4 X1 + 2 X2 < 20 2 X1 + 1,5 X2 + 1,5 X3 < 8 X2 < 5 X1, X2, X3 > 0 Selesaikan dengan metode simpleks

52 (Meminimalkan Z, dengan batasan >) (Masalah Batasan Campuran) Metode Simpleks (Big-M)

53 Aturan yang dapat digunakan untuk memudahkan penyelesaian: Batasan Penyesuaian fungsi batasan Koefisien fungsi tujuan MaksimisasiMinimisasi < Tambah slack variabel 00 = Tambah artificial variabel -MM > Kurang slack variabel 00 Dan tambah artificial variabel -MM

54 Contoh 3: Fungsi tujuan : Min Z = 6X1 + 3 X2 Fungsi pembatas : 2 X1 + 4X2 > 16 4 X1 + 3 X2 > 24 X1, X2 > 0 Selesaikan dengan metode simpleks

55 Contoh 4: Fungsi tujuan : Maks Z = 400 X X2 Fungsi pembatas : X1 + X2 = 30 2 X1 + 8 X2 > 80 X1 < 20 X1, X2 > 0 Selesaikan dengan metode simpleks


Download ppt "PEMROGRAMAN LINIER Pertemuan 2. Pengantar Program Linier (PL) Dari contoh-contoh yang telah disampaikan pada Pertemuan I, terlihat bahwa terdapat suatu."

Presentasi serupa


Iklan oleh Google