Metode dan teori dibalik metode

Presentasi berjudul: "Metode dan teori dibalik metode"— Transcript presentasi:

1 Metode dan teori dibalik metode

2 Kasus Persamaan Kuadrat
𝑎 𝑥 2 +𝑏𝑥+𝑐=0 persamaan ini memiliki akar yang ditetapkan dengan rumus: 𝑥 12 = −𝑏± 𝑏 2 −4𝑎𝑐 2𝑎 rumus ini bersifat eksplisit, karena dengan koefisien a, b, dan c diberikan, nilai x1 dan x2 langsung dapa ditetapkan. Misalkan, untuk a = 1, b=-7, dan c=12, dengan mudah diperoleh x1=3, dan x2=4. Akan tetapi untuk a=1, b=-320, dan c=16, didapatkan: 𝑥 1 = −(4)(1)(16) (2)(1) = =319.9 𝑥 2 = 320− −(4)(1)(16) (2)(1) = 320− =0.1

3 Lanjutan... Hitungan ini mengandalkan ketelitian aritmetika sampai dengan satu angka pertama dibelakang tanda desimal. Pada hal hasil akhir yang benar adalah: x1= dan x2= Disini metode memberikan x1 yang sangat bagus, tetapi nilai x2 yang sangat jelek. (kesalahannya hampir 100%) Tidak sulit untuk menemukan mengapa diperoleh hasil yang jelek untuk x2. Angka 320 dan hampir sama besar, sehingga jika hitungan tidak cermat dapat terjadi keadaan saling menghapus, yang berakibat fatal.

4 Lanjutan Dari segi teori, rumus untuk mengitung akar adalah benar, dan itu dapa dibuktikan dengan melakukan substitusi langsung. Tetapi dari segi metode komputasi, rumus tidak menjamin hasil yang benar. Untuk kasus ini metode hitungan yang benar adalah: 𝑥 1 = −𝑏−𝑡𝑑𝑎(𝑏) 𝑏 2 −4𝑎𝑐 2𝑎 , dan 𝑥 2 = 𝑐 𝑎 𝑥 1 Dengan tda(b) adalah tanda dari b. Rumus ini secara matematis ekivalen dengan rumus sebelumnya. Dengan rumus baru ini diperoleh hasil yang baik untuk x2 yaitu: 𝑥 2 = 16 (1)(319.9) =

5 Akar Bilangan Mencari akar kuadrat dari bilangan 10.
Konkritnya berapakah 𝑥= 2 10 =? Periksa proses komputasi berikut, yang dibuat berdasarkan metode di pra-universitas (tetapi sayang sudah tidak diajarkan lagi)

6 3.1622 10 3 x 3= 9 1 00 61 x 1= 61 39 00 626 x 6= 37 56 1 44 00 6322 x 2= 1 26 44 17 56 00 63242 x 2= 12 64 84 4 91 16

7 lanjutan Metode ini tidak banyak yang mengenal (sudah tidak diajarkan lagi), tidak banyak pula yang tahu dasar teorinya mengapa metode ini mendapatkan hasil yang benar. Kelemahan serius pada metode ini: TIDAK COCOK untuk dijalankan pada komputer. Komputer menggunakan metode lain untuk mendapatkan hasilnya, yaitu dengan bantuan rumus: 𝑥 𝑘+1 = 𝑥 𝑘 + 𝑎 𝑥 𝑘 yang digunakan berulang-ulang sampai diperoleh hasil yang diharapkan. a adalah bilangan yang harus dicari nilai akarnya, 𝑥 𝑘 dan 𝑥 𝑘+1 adalah taksiran ke-k dan ke-(k+1) atas nilai akar yang sebenarnya.

8 lanjutan Oleh karena itu rumus memerlukan taksiran awal 𝑥 0 . Misalkan ambil 𝑥 0 =10. Rumus tersebut memberian hasil sebagai berikut: 𝑥 1 = ( ) 2 =5.50 𝑥 2 = ( ) 2 =3.6591 𝑥 3 = ( ) 2 =3.1625 𝑥 4 = ( ) 2 =3.1623 𝑥 5 = ( ) 2 =3.1623 Tampaklah disini bahwa pada penerapan rumus yang kelima telah diperoleh taksiran (dalam hal ini) sama dengan taksira sebelumnya. Artinya, telah diperoleh nilai akar yang diinginkan, yaitu 𝑥=3.1623

9 Tugas... Buatlah algoritma untuk mendapatkan nilai akar sebuah bilangan Buat diagram alir Buat kompilasi programnya (direkomendasikan MATLAB) tetapi tidak menutup kemungkinan menggunakan software lain.