Presentasi sedang didownload. Silahkan tunggu

Presentasi sedang didownload. Silahkan tunggu

LOGO ALJABAR ABSTRAK Dosen Pembimbing Gisoesilo Abudi.

Presentasi serupa


Presentasi berjudul: "LOGO ALJABAR ABSTRAK Dosen Pembimbing Gisoesilo Abudi."— Transcript presentasi:

1 LOGO ALJABAR ABSTRAK Dosen Pembimbing Gisoesilo Abudi

2 Materi Pokok OPERASI BINER G R U P SIFAT-SIFAT SEDERHANA DARI GRUP SUB GRUP GRUP SIKLIK

3 Tujuan Instruksional Umum Setelah mempelajari materi ini, Anda dapat memahami tentang operasi biner, grup dan sifat-sifat sederhana dari grup, subgrup serta tentang grup siklik

4 Pertemuan Kedua G r u p Ke Materi Ketiga 1. Definisi 2. Teorema 3. Contoh Soal Soal 4. Latihan / Tugas Tugas

5 Teorema Misalkan G suatu grup, maka ∀ a,b ∈ G berlaku (i) (a-1) -1 = a dan (ii) (ab) -1 = b -1 a -1. Contoh: Grup P(9) = {1, 2, 4, 5, 7, 8} dengan × mod = 1 ; 2 -1 = 5 ; 4 -1 = = 2 ; 7 -1 = 4 ; 8 -1 = 8 (7 -1 ) -1 = 7 ; (5 -1 ) -1 = 5 ; (8 -1 ) -1 = 8

6 Teorema Apabila G suatu grup, maka ∀ a,b,c ∈ G berlaku : (i) Jika ab = ac, maka b = c (sifat kanselasi kiri) (ii) Jika ac = bc, maka a = b (sifat kanselasi kanan).

7 Teorema Jika G suatu grup, maka ∀ a,b ∈ G, persamaan- persamaan xa = b (persamaan kiri) dan ay = b (persamaan kanan), masing-masing mempunyai penyelesaian tunggal. Contoh: Diketahui P(9) = {1, 2, 4, 5, 7, 8} dengan × mod 9 adalah suatu grup. 2x = 17x = x = 5.1 (?)4.7x = 4.8 (?) x = 5x = 5

8 Defenisi  Misalkan G suatu grup, a ∈ G dan m suatu bilangan bulat positif, maka  a m = a a a..... a sebanyak m faktor  a -m = (a -1 ) m dengan a -1 adalah invers dari a.  a 0 = e (elemen identitas).

9 Teorema Misalkan G suatu grup, m dan n sembarang bilangan bulat, maka ∀ a ∈ G berlaku : (i) a m a n = a m+n (ii) (a m ) n = a mn a m b m = (ab) m Contoh: Diketahui P(15) = {1, 2, 4, 7, 8, 11, 13, 14} dengan × mod 15 adalah suatu grup. 2 8 = 1 ; = 4 ; 4 8 = 1 ; = = 11 ; = 4 ; = 4 ; = 14

10 Definisi Misalkan G suatu grup dan a ∈ G.  Periode (order) dari a (diberi symbol o(a) atau p(a)atau |a|) adalah suatu bilangan bulat positif terkecil, misalnya m, sedemikian hingga a m = e. Jika tak ada bilangan bulat yang demikian, maka dikatakan bahwa order dari a adalah tak hingga.

11 Contoh Diketahui P(9) = {1, 2, 4, 5, 7, 8} dengan × mod 9 adalah suatu grup. o(1) = 1, o(2) = 6, o(4) = 3, o(5) = 6, o(7) = 3, o(8) = 2

12 Misalkan a suatu elemen dari suatu grup dengan o(a) = 6. Tentukan o(a 2 ), o(a 3 ), o(a 4 ) dan o(a 5 ). Jawab: o(a) = 6  6 adalah bilangan bulat positif dengan a 6 = e. (a 2 ) 3 = a 6 = e, maka o(a 2 ) =3 (a 3 ) 2 = a 6 = e, maka o(a 3 ) =2 (a 4 ) 3 = (a 6 ) 2 = e, maka o(a 4 ) =3 (a 5 ) 6 = (a 6 ) 5 = e, maka o(a 5 ) =6 Contoh Soal

13 Misalkan G suatu grup berhingga dan a ∈ G, buktikan bahwa ada bilangan bulat positif n sedemikian hingga a n = e. JAWAB: G suatu grup dan a ∈ G  a2, a3, a4,... ∈ G. Tetapi, karena G berhingga, maka ada pengulangan penulisan dari elemen-elemen sebagai perpangkatan dari a tersebut. Apa artinya? Yaitu ada bilangan-bilangan bulat m dan k dengan m > k, sedemikian hingga : a m = a k a m-k = e Jadi n = m – k dan a n = e. Contoh Soal

14 Latihan 1.Jika G suatu grup berhingga, tunjukkan bahwa ada suatu bilangan bulat n sedemikian hingga a n = e untuk semua a ∈ G. 2.Jika G suatu grup berhingga yang berorder genap, buktikan bahwa banyaknya elemen yang inversnya dirinya sendiri, selain elemen identitas adalah ganjil.

15 Latihan 3.Jika G grup abelian yang berhingga dan a 1, a 2,..., a n adalah elemen- elemennya, tunjukkan bahwa (a 1 a 2... a n ) 2 = e. 4.Jika G grup abelian berorder ganjil, apakah hasilkali dari semua elemennya?

16 Latihan 5.Misalkan G suatu grup yang memenuhi (ab) 3 = a 3 b 3 dan (ab) 5 = a 5 b 5, untuk semua a,b ∈ G. Tunjukkan bahwa G suatu grup abelian!

17 LOGO Selamat Belajar


Download ppt "LOGO ALJABAR ABSTRAK Dosen Pembimbing Gisoesilo Abudi."

Presentasi serupa


Iklan oleh Google