Presentasi sedang didownload. Silahkan tunggu

Presentasi sedang didownload. Silahkan tunggu

Dasar probabilitas. 2 Sample space, sample points, events Sample space, , adalah sekumpulan semua sample points,  yang mungkin; dimana  Contoh 1.

Presentasi serupa


Presentasi berjudul: "Dasar probabilitas. 2 Sample space, sample points, events Sample space, , adalah sekumpulan semua sample points,  yang mungkin; dimana  Contoh 1."— Transcript presentasi:

1 Dasar probabilitas

2 2 Sample space, sample points, events Sample space, , adalah sekumpulan semua sample points,  yang mungkin; dimana  Contoh 1. Melemparkan satu buah koin:  ={Gambar,Angka} Contoh 2. Menggelindingkan dadu:  ={1,2,3,4,5,6} Contoh 3. Jumlah pelanggan dalam antrian:  ={0,1,2,…} Contoh 4. Waktu pendudukan panggilan (call holding time):  ={x  x>0} Events A,B,C,…   adalah himpunan bagian (yang dapat diukur) dari sample space Contoh 1. Angka genap pada sebuah dadu:A={2,4,6} Contoh 2. Tidak ada pelanggan yang mengantri : A={0} Contoh 3. Call holding time lebih dari 3 menit. A={x  x>3}  adalah kumpulan semua events Event yang pasti : sample space  merupakan elemen dari  Event yang tidak mungkin : himpunan kosong  yang juga merupakan anggota 

3 3 Kombinasi event Union (gabungan) :“A atau B” : A  B={  A atau  B} Irisan: “A dan B” : A  B={  A dan  B} Komplemen : “bukan A”:A c ={  A} Event A dan B disebut tidak beririsan (disjoint) bila : A  B=  Sekumpulan event {B1,B2,…} merupakan partisi dari event A jika (i) B i  B j =  untuk semua i  j (ii)  i B i =A

4 4 Probabilitas (peluang) Probabilitas suatu event dinyatakan oleh P(A) P(A)  [0,1] Sifat-sifat peluang

5 5 Conditional Probability (Peluang bersyarat) Asumsikan bahwa P(B)>0 Definisi : Conditional probability dari suatu event A bila diketahui event B terjadi didefinisikan sebagai berikut Dengan demikian

6 6 Teorema Probabilitas Total Bila {B i } merupakan partisi dari sample space  Lalu {A  B i } merupakan partisi dari event A, maka berdasarkan sifat probabilitas yang ketujuh pada slide nomor 4 Kemudian asumsikan bahwa P(B i )>0 untuk semua i. Maka berdasarkan uraian pada slide nomor 5 dapat didefinisikan teorema probabilitas total sbb

7 7 Teorema Bayes Bila {B i } merupakan partisi dari sample space  Asumsikan bahwa P(A)>0 dan P(B i )>0 untuk semua i. Maka berdasarkan uraian pada slide nomor 5 Kemudian, berdasarkan teorema probabilitas total, kita peroleh Ini merupakan teorema Bayes Peluang P(B i ) disebut peluang a priori dari event B i Peluang P(B i  A) disebut peluang a posteriori dari event B i (bila diketahui event A terjadi)

8 8 Kesalingbebasan statistik dari event (Statistical independence of event) Definisi : Event A dan B saling bebas (independent) jika Dengan demikian Demikian pula

9 9 Peubah acak (random variables) Definisi : Peubah acak X (yang merupakan bilangan riil [real-valued]) adalah fungsi bernilai riil dan dapat diukur yang didefinisikan pada sample space  ;X:    Setiap titik sample (sample points)  dihubungkan dengan sebuah bilangan riil X(  ) Dapat diukur memiliki arti bahwa semua himpunan yang berbentuk berasal dari kumpulan event , yaitu Peluang event yang seperti itu dinyatakan oleh P{X  x}

10 10 Sebuah koin dilempar (menghasilkan head (H) atau tail (T) Sample space: Misalnya peubah acak X merupakan jumlah total tail (T) dalam ketiga eksperimen pelemparan koin tersebut, maka : Contoh

11 11 Indikator dari suatu event Misalkan A   merupakan suatu event Definisi : indikator dari suatu event A adalah peubah acak yang didefinisikan sbb: Maka

12 12 Probability Distribution Function (PDF) Definisi : PDF dari suatu peubah acak X adalah fungsi F X :   [0,1] yang didefinisikan sebagai berikut PDF menentukan distribusi dari peubah acak Peluang P{X  B}, dimana B   dan {X  B}  Sifat

13 13 Kesalingbebasan statistik dari peubah acak (Statistical independence of random variables) Definisi : Peubah acak X dan Y saling bebas jika untuk semua x dan y Definisi : Peubah acak X 1, …,X n saling bebas jika untuk semua i dan x i

14 14 Maximum dan minimum dari peubah acak yang saling bebas Misalkan peubah acak X 1,…,X n saling bebas Bila X max :=max{X 1,…,X n }, maka Bila X min :=min{X 1,…,X n }, maka

15 15 Peubah acak diskrit Definisi : himpunan A  disebut diskrit bila Terbatas : A={x 1,…,x n }, atau Tak terbatas : A={x 1,x 2,…} Definisi : peubah acak X disebut diskrit bila terdapat sebuah himpunan diskrit S x  sedemikian hingga Maka P{X=x}  0 untuk semua x  S x P{X=x}  0 untuk semua x  S x Himpunan S x disebut himpunan nilai (value set)

16 16 Misalkan X adalah peubah acak diskrit Distribusi X ditentukan oleh peluang titik p i Definisi : probability mass function (pmf) dari X adalah merupakan fungsi p X :   [0,1] yang didefinisikan sbb Pada kasus ini, PDF merupakan fungsi step Peluang titik (point probabilities)

17 17 Contoh

18 18 Kesalingbebasan peubah acak Peubah acak diskrit X dan Y dikatakan saling bebas jika dan hanya jika untuk semua x i  S X dan y j  S y

19 19 Ekspektasi (harapan,rataan) Definisi : Harga ekspektasi (rata-rata/mean value) dari X dinyatakan oleh Catatan 1: ekspektasi akan ada hanya jika Catatan 2 : Jika, maka Sifat-sifat

20 20 Variance Definisi : Variance dari X didefinisikan sbb Rumus yang bermanfaat Sifat-sifat

21 21 Covariance Definisi : Covariance antara X dan Y didefinisikan sbb Rumus yang bermanfaat Sifat-sifat

22 22 Parameter lain yang berhubungan dengan distribusi Deviasi standard dari X Koefisien perubahan (coefficient of variation) dari X Momen ke-k dari X

23 23 Misalkan X1,…,Xn saling bebas dan teridistribusi secara identik (independent and identically distributed [IID]) dengan  dan variance  2 Rata-rata-nya(average/sample mean) Maka Rata-rata dari peubah acak IID

24 24 Law of large numbers (LLN)

25 25 Distribusi Bernoulli Menyatakan suatu eksperimen acak dengan dua keluaran yang mungkin Sukses (1) Gagal (0) Nilai 1 berpeluang p (nilai 0 untuk peluang 1-p)

26 26 Distribusi binomial Menyatakan jumlah sukses dalam sejumlah eksperimen acak yang saling bebas (masing-masing eksperimen bersifat Bernoulli); n = jumlah total eksperimen p = peluang sukses dalam suatu eksperimen

27 27 Distribusi geometrik Menyatakan jumlah sukses yang terjadi sampai didapatkan kegagalan yang pertama dari sejumlah eksperimen acak yang saling bebas (masing-masing eksperimen bersifat Bernoulli) p = peluang sukses dalam suatu eksperimen

28 28 Sifat memoryless Distribusi geometrik mempunyai sifat memoryless yaitu untuk semua i,j  {0,1…}

29 29 Minimum dari peubah acak geometrik

30 30 Distribusi Poisson Limit dari distribusi binomial dimana n  dan p  0, sedemikian hingga np  a

31 31 Contoh Asumsikan 200 pelanggan terhubung ke sentral lokal Trafik setiap pelanggan adalah 0.01 Pelanggan saling bebas Maka jumlah panggilan yang aktif X ~ Bin(200,0.01) Pendekatan Poisson X  Poisson(2,0) Peluang titik

32 32 Sifat-sifat distribusi Poisson i.Penjumlahan (sum) : Bila X 1 ~Poisson(a 1 ) dan X 2 ~Poisson(a 2 ) saling bebas, maka X 1 + X 2 ~Poisson(a 1 + a 2 ) ii.Random sample : Misalkan X~Poisson(a) menyatakan jumlah elemen dalam suatu himpunan, dan Y menyatakan ukuran random sample dari himpunan tersebut (setiap elemen diambil secara saling bebas dengan peluang p), maka Y~Poisson (pa) iii.Random sorting: Misalkan X dan Y seperti pada (ii), dan Z=X-Y, maka Y dan Z adalah saling bebas (bila X tidak diketahui) dan Z~Poisson ((1-p)a)

33 33 Peubah acak kontinu Definisi : peubah acak X kontinu jika terdapat fungsi yang dapat diintegralkan f X :  +, sedemikian hingga untuk semua x  Fungsi f X disebut probability density function (pdf) Himpunan S X, dimana f X >0 disebut value set Sifat-sifat

34 34 Contoh

35 35 Ekspektasi dan parameter lain Ekspektasi (nilai rata-rata/mean value) dari X didefinisikan sbb Note 1: Ekspektasi ada hanya jika Note 2: Jika, maka Sifat sama dengan distribusi diskrit Parameter distrubusi lainnya didefinisikan dan memiliki sifat yang sama seperti pada distribusi diskrit

36 36 Distribusi Uniform (X~U(a,b), a

37 37 Distribusi Eksponensial (X~Exp( ), >0) Versi kontinu dari distribusi geometrik (peluang gagal  dt)

38 38 Sifat memoryless Distribusi eksponensial mempunyai sifat memoryless untuk semua x,y  (0,  ) P{X>x+y  X>x}=P{X>y} Aplikasi Asumsikan bahwa call holding time terdistribusi secara eksponensial dengan mean (rata-rata) h Misalnya suatu panggilan telah berakhir selama x menit. Dengan sifat memoryless, hal ini memberi informasi tentang lamanya waktu holding time yang masih tersisa : juga terdistribusi seperti holding time yang asli Ekspektasi dari holding time sisa adalah selalu h

39 39 Minimum dari peubah acak eksponensial

40 40 Distribusi normal (Gaussian) ternormalisasi (X ~ N(0,1))

41 41 Distibusi normal (Gaussian)

42 42 Sifat-sifat distribusi Gaussian

43 43 Central Limit Theorem (CLT)


Download ppt "Dasar probabilitas. 2 Sample space, sample points, events Sample space, , adalah sekumpulan semua sample points,  yang mungkin; dimana  Contoh 1."

Presentasi serupa


Iklan oleh Google