Presentasi sedang didownload. Silahkan tunggu

Presentasi sedang didownload. Silahkan tunggu

HUBUNGAN NON- LINEAR Pada Pertemuan kali ini, kita akan mempelajari ………….  Fungsi kuadrat - Identifikasi persamaan kuadrat - Lingkaran.

Presentasi serupa


Presentasi berjudul: "HUBUNGAN NON- LINEAR Pada Pertemuan kali ini, kita akan mempelajari ………….  Fungsi kuadrat - Identifikasi persamaan kuadrat - Lingkaran."— Transcript presentasi:

1 HUBUNGAN NON- LINEAR

2 Pada Pertemuan kali ini, kita akan mempelajari ………….  Fungsi kuadrat - Identifikasi persamaan kuadrat - Lingkaran - Elips - Hiperbola - Parabola

3 Persamaan Berderajat Dua  Polinom atau suku banyak pada variabel x dilambangkan dengan P(x), mengandung suku-suku Kx n, dimana K = konstanta, dan n merupakan bilangan bulat.  Bentuk umum polinom berderajat n adalah : P(x) = a 0 + a 1 x + a 2 x 2 + a 3 x 3 +.… + a n x n  Kedua suku pertama P(x) adalah juga berbentuk Kx n, karena dapat ditulis a 0 x 0 dan a 1 x 1

4 Persamaan Berderajat Dua ©  Kalau polinom berderajat n disamakan nol maka diperoleh persamaan berderajat n dalam x. a 0 + a 1 x + a 2 x 2 + a 3 x 3 + … + a n x n = 0  Buat n = 2, maka diperoleh persamaan derajat dua dalam x : a 0 + a 1 x + a 2 x 2 = 0  Yang sering juga ditulis : ax 2 + bx + c = 0

5 Persamaan Berderajat Dua © r

6

7  Polinom atau suku banyak pada variabel x dan y yang dilambangkan P(x,y) ialah ungkapan yang mengandung suku Kx r y s, dimana K=konstanta, r dan s = bilangan bulat.  Harga tertinggi (r+s) suatu suku P(x,y) dinamakan derajat polinom itu.  Jika P(x,y) berderajat n=0  Ax + By + C = 0 (grafik berupa garis lurus)  Bentuk umum persamaan derajat dua x dan y: Ax 2 + Bxy + Cy 2 + Dx + Ey + F = 0 (Grafik persamaan ini adalah sebuah potongan kerucut yaitu : lingkaran, elips, parabola dan hiperbola)

8 Gambar Potongan Kerucut Lingkaran Elips Parabola Hiperbola Ax 2 + Cy 2 + Dx + Ey + F = 0 A=0 atau C=0, tapi tidak keduanya A = C ≠ 0 A ≠ C, tanda sama A dan C berlawanan tanda

9 Bentuk UmumAx 2 + Bxy + Cy 2 + Dx + Ey + F = 0 LingkaranA = C ≠ 0 ElipsB 2 – 4AC < 0 ParabolaB 2 – 4AC = 0 HiperbolaB 2 – 4AC > 0 Bentuk UmumAx 2 + Cy 2 + Dx + Ey + F = 0 LingkaranJika: A = C ≠ 0 ElipsJika: A ≠ C, tanda sama ParabolaJika: A = 0 atau C = 0, tapi tidak keduanya HiperbolaJika: A dan C, berlawanan tanda Identifikasi Persamaan Kuadrat

10 LINGKARAN Ax 2 + Bxy + Cy 2 + Dx + Ey + F = 0  Lingkaran didefinisikan sebagai tempat kedudukan atau lokus titik-titik P(x,y) yang jaraknya r sampai suatu titik M yang dinamakan pusat lingkaran adalah sama.  Persamaan lingkaran (umum): ax 2 + by 2 +cx + dy + e = 0; dimana → a = b ≠ 0  Bila pusat lingkaran berimpit dengan titik asal (0, 0), berlaku hukum Pythagoras x 2 + y 2 = r 2 → koordinat pusat lingkaran M(0, 0).

11 LINGKARAN  Jika koordinat pusat lingkaran M(h, k), persamaan lingkaran: (x – h) 2 + (y – k) 2 = r 2 x 2 – 2hx + h 2 +y 2 – 2ky +k 2 – r 2 = 0 x 2 + y 2 – 2hx – 2ky + (h 2 +k 2 – r 2 ) = 0  ax 2 + by 2 + cx + dy + e = 0 (a = b;c dan d bilangan positif atau negatif; e = h 2 +k 2 – r 2 ).

12 LINGKARAN © Bila pusat lingkaran dipindahkan dari 0 ke M(h,k), maka juga dengan hukum pythagoras diperleh persamaan lingkaran : (x – h) 2 + (y – k) 2 = r 2 x  (x – h), y  (y – k) Dapat ditulis x 2 + y 2 - 2hx - 2ky + (h 2 +k 2 – r 2 )=0 y r r x M(h,k) x h k y P(x,y) x y h dan k bisa positif / negatif  persamaan lingkaran : Ax 2 + Ay 2 + Dx + Ey + F = 0  D = – 2h; E = – 2k; F = (h 2 +k 2 – r 2 ) 0

13 LINGKARAN :  Tentukan pusat dan jari2 lingkaran : x 2 + y 2 – 8x – 6y – 11 = 0 Jawab: (x 2 – 8x )+ (y 2 – 6y) =11 (x 2 – 8x + 16)+ (y 2 – 6y + 9) = = 36 (x – 4) 2 + (y – 3) 2 = 6 2  Pusat lingkaran M (4; 3) Jari-jari ≡ r = 6.

14 LINGKARAN  Persamaan umum lingkaran: ax 2 + ay 2 + cx + dy + e = 0 x 2 + y 2 + (c/a) x + (d/a) y + (e/a) = 0  Rumus baku lingkaran: (x – i) 2 + (y – j) 2 – r 2 = 0 x 2 + y 2 – 2i x – 2j y + (i 2 + j 2 – r 2 ) = 0   (c/a) = – 2i → i = – c/(2a) (d/a) = – 2j → j = – d/(2a) (e/a) = (i 2 + j 2 – r 2 ) → r 2 = i 2 + j 2 – (e/a) r = V (i 2 + j 2 – e/a)

15 X O A ( a, 0 ) F 1 ( - c, 0 ) F 1 ( c, 0 ) Y P ( x, y ) D ( 0, - b ) C ( 0, b ) B ( a, 0 ) Panj latus rectum Sumbu minor Sumbu mayor ELIPS F 1 dan F 2 : titik focus elips; A, B, C, D : titik puncak elips. AB : sumbu mayor;CD : sumbu minor;Pusat elips: O(0;0)

16 Elips adalah tempat kedudukan titik-titik yang jumlah jaraknya terhadap dua titik tertentu (F 1 dan F 2 ) adalah tetap. ELIPS X OA ( a, 0 ) F 1 ( - c, 0 ) F 1 ( c, 0 ) Y P ( x, y ) D ( 0, - b ) C ( 0, b ) B ( a, 0 ) Panj latus rectum Sumbu minor Sumbu mayor

17 Persamaan Elips dengan Pusat titik O(0;0): 1.ELIPS HORIZONTAL: Elips yang berfokus pada sumbu-x: Pusat (0,0); Fokus F 1 (-c,0) dan F 2 (c,0) X OA ( a, 0 ) F 1 ( - c, 0 ) F 1 ( c, 0 ) Y P ( x, y ) D ( 0, - b ) C ( 0, b ) B ( a, 0 )

18 2.ELIPS VERTIKAL: Elipps yang berfokus pada sumbu-y :Pusat (0,0); Fokus F 1 (0,-c) dan F 2 (0,c) a –a b –b x y c –c Sumbu mayor

19 Tentukan persamaan elips yang berpusat di O(0,0), fokus (-4,0) dan (4,0) dengan sumbu mayor 10 satuan. Jawab : Fokus di F 1 (-4,0) dan F 2 (4,0) maka c = 4 ( fokus pada sumbu x ) Panjang sumbu mayor = 10, maka 2a = 10. Sehingga a = 5 Persamaan elipsnya : Jadi persamaan elipnya adalah

20 =

21

22 Persamaan elips yang berpusat di P(α,β) Elips yang berfokus pada sumbu utama yang terletak pada / sejajar sumbu x, persamaan elipsnya adalah Dengan : Pusat (α,β) Titik fokus di F 1 (α-c, β) & F 2 (α+c, β) Titik puncak (α-a, β) & (α+a, β) Panjang sumbu mayor = 2a Panjang sumbu minor = 2b Persamaan direktriks ELIPS HORIZONTAL

23 Dengan : Pusat (α,β) Titik fokus di F 1 (α,β-c) & F 2 (α,β+c) Titik puncak (α,β-a) & (α,β+a) Panjang sumbu mayor=2a Panjang sumbu minor=2b Persamaan direktriks Untuk elips yang berfokus pada sumbu utama yang terletak pada / sejajar sumbu y, persamaan elipsnya adalah Persamaan elips yang berpusat di P(α,β) ELIPS VERTIKAL

24

25

26 Elips Tentukan pusat dan jari-jari elips 4x 2 + y 2 – 16x – 6y = – 9 (4x 2 – 16x) + (y 2 – 6y) = – 9 (4x 2 – 16x + 16) + (y 2 – 6y + 9) = – (x 2 – 4x + 4) + (y 2 – 6y + 9) = 16 4(x – 2) 2 + (y – 3) 2 = 16 : 16 (x – 2) 2 + (y – 3) 2 = i = 2;j = 3;r 1 = 2;r 2 = 4 Pusat elips (2; 3);

27 Elips  Perpotongan dengan sumbu x → y = 0 4x – 16x – 0 = – 9 4x 2 – 16x + 9 = 0  x 1 = 3,32;x 2 = 0,68  Perpotongan dengan sumbu y → x = 0 y 2 – 6y = – 9  y 2 – 6y + 9 = 0 (y – 3) 2 = 0  y 1 = y 2 = 3

28 Parabola  Parabola ialah tempat kedudukan titik- titik yang berjarak sama terhadap sebuah titik fokus dan sebuah garis lurus yang disebut direkstris.  Persamaan umum: ax 2 + by 2 + cx + dy + e = 0 dimana a = 0 atau b = 0 (tetapi tidak ke-dua2nya). y = ax 2 + bx + c  sb simetri//sb vertikal x = ay 2 + by + c  sb simetri//sb horizontal

29 direktriks Titik ekstrim fokus Sumbu simetri y = ax 2 + bx + c dimana “a” < 0 y = ax 2 + bx + c dimana “a” > 0 x = ay 2 + by + c dimana “a” < 0 x = ay 2 + by + c dimana “a” > 0 yy y y x x x x

30 F ocus : (0, p ). Garis directrix y =− p. Jarak titik fokus: | p | (Jarak dari titik pangkal ke titik fokus dan dari titik pangkal ke directrix). Titik ( x, y ) adalah sembarang titik pada kurva. Jarak dari titik (x,y) ke fokus (0,p) sama dg jaraknya ke direktrik.. PARABOLA  Persamaan parabola menjadi sederhana bila dipilih asal 0 di M dan FT = sumbu y.  Dengan hukum pythagoras : x 2 + (y – p) 2 = (y + p) 2 x 2 – 2yp = 2yp x 2 = 4py y = ¼ px 2 = ax 2 Parabola dengan garis simetri vertikal dan titik ekstrem (0, 0)

31 Diketahui persamaan parabola y = x 2 / 2. Cari jarak titik fokus (p) dan direktriknya (y = - p). Jawab: Persamaan parabola pada vertikal axis y = x 2 / 4p  x 2 / 4p = x 2 / 2  p = ½ Jadi, koordinat titik fokus (0,½) Garis direktrik y = - ½

32 Parabola dengan garis simetri horizontal dan titik ekstrem (0, 0).

33 Gambarkan dan cari persamaan parabola dimana titik fokus (– 2, 0) dan garis direktrik x = 2 Jawab: Persamaan parabola : y 2 = 4px P = - 2  y 2 = - 8x

34 Jika titik ekstrem (h, k) dengan garis simetri vertikal maka persamaan parabola : (x – h) 2 = 4p(y – k) Bila parabola dipindahkan sejajar sehingga puncaknya tidak lagi 0 tetapi di M(h,k) maka: (x - h) 2 = 4p(y - k) x 2 - 2hx - 4py + (h 2 + 4pk) = 0 Ax 2 + Dx + Ey + F = 0 Cx 2 + Dx + Ey + F = 0

35 TITIK EKSTREM (i, j): Persamaan Parabola: y = ax 2 + bx + c i = – b 2a j = (b 2 – 4ac) (-4a )

36 Jika garis simetri horizontal dan titik ekstrem (h, k) maka persamaan parabola : (y – k) 2 = 4p(x – h)

37 Gambarkan kurva parabola : x 2 = 14y Jawab: x 2 = 4py dan x 2 = 14y  4p = 14  P = 3½ Jadi, fokus (0, 3½) dan garis direktry y = - p = - 3½

38 Parabola  Titik ekstrem ( i; j) = (- b/2a; (b 2 – 4ac)/(- 4a) ) y x 0 j i

39  Parabola y = – x 2 + 6x – 2, tentukan titik ekstrem dan perpotongan dengan sumbu koordinat. a = - 1 < 0  parabola terbuka kebawah shg titik eksrem terletak diatas sebagai titik puncak. i = - b/2a = - 6/-2 = 3 j = (b 2 – 4ac)/- 4a = (36 – 8)/4 = 7  Titik puncak (3; 7). Perpotongan dengan sumbu y  x = 0 y = – 2 = - 2. Perpotongan dengan sumbu x  y = 0 x 2 – 6x + 2 = 0  x 1 = 5,65 ; x 2 = 0,35

40 Parabola y = – x 2 + 6x – 2, tentukan titik ekstrem dan perpotongan dengan sumbu koordinat.

41 ,35 5,65 y x 0 (3; 7)

42 Soal: Biaya total y = 2x 2 – 24x Titik ekstrim parabola: (x*, y*)  titik maximum atau titik minimum (x*, y*) = {- b/2a; (b 2 – 4ac)/-4a} x* = -b/2a = 24/4 = 6 y* = 2(6 2 ) – 24(6) = 30 y* = (b 2 – 4ac)/-4a = {(-24) 2 – 4(2)(102)}/{- 4(2)} = (- 240)/(- 8) = 30

43 HIPERBOLA  Hiperbola ialah tempat kedudukan titik-titik yang perbedaan jaraknya terhadap dua fokus selalu konstan. Sebuah hiperbola mempunyai dua sumbu simetri yang saling tegak lurus dan sepasang asimtot.

44 HIPERBOLA © y x 0 (i,j) asimtot Sumbu lintang y x 0 (i,j) asimtot Sumbu lintang Rumus Umum : Ax 2 – Cy 2 + Dx + Ey + F =0; dimana A berlawanan tanda dgn C.

45 Jika sumbu lintang // sumbu x: 1. Rumus baku hiperbola: (i; j) adalah koordinat titik pusat hiperbola 2. Persamaan asymtot:

46 Jika sumbu lintang // sumbu y: 1. Rumus baku hiperbola: (i; j) adalah koordinat titik pusat hiperbola 2. Persamaan asymtot:

47 Tentukan pusat, asymtot dan perpotongan dengan masing- 2 sumbu koordinat, dari hiperbola: 16 x 2 – 9 y 2 – 64 x + 18 y – 89 = 0 Jawab: 16 x 2 – 64 x + 64 – 9 y y – 9 = – 9 16 (x 2 – 4 x + 4) – 9 (y 2 – 2y + 1) = 144 : 144 (x – 2) 2 – (y – 1) 2 = 1  i = 2; j = 1;m = 3; n =  sumbu lintang // dengan sumbu x. Pusat hiperbola (i; j) = (2; 1)

48 Asymtot: (x – 2) = ± (y – 1)  y – 1 = ± 4 (x – 2) 34 3 y = ± 4 / 3 (x – 2) + 1 y 1 = 4 / 3 x – 5 / 3 ;y 2 = - 4 / 3 x + 11 / 3 Jika x = 0  y = - 1,67jika x = 0  y = 3,67 Jika y = 0  x = 1,25jika y = 0  x = 2,75 Perpotongan dg sumbu x  y = 0 16 x 2 – 64 x – 89 = 0  x 1 = 5,09 dan x 2 = - 1,09 Perpotongan dg sumbu y  x = 0 9 y 2 – 18 y + 89 = 0  y 1 = y 2 ≡ bilangan khayal  tidak terdapat perpotongan dg sumbu y.

49 KURVA GOMPERTZ Model pertumbuhan variabel ekonomi dengaan variabeel terikat N tidak terus-menerus membesar tanpa batas maksimum. N = c a r t N = variabel yang diamati, r = tingkat pertumbuhan rata-rata (0 < r < 1) a = proporsi pertumbuhan awal c = batas jenuh pertumbuhan (asymtot atas) t = indeks waktu

50 Latihan  Pertumbuhan jumlah pegawai sebuah perusahaan diperkirakan akan mengikuti kurva Gompertz Ditanyakan jumlah pegawai awalnya, pada akhirnya dan sesudah 3 tahun.  Hitung harga dan kuantitas imbang (keseimbangan) kurva permintaan dan penawaran berikut : S = p 2 +2p – 3 D = -p (Gambarkan)

51 t = 0  y = 1000 (0,01) 0,5 0 y = 10 t = 3  y = 1000 (0,01) 0,5 3 2.Q S = p 2 +2p – 3 Q D = -p Q S = Q D  p 2 + 2p – 3 = -p  2p 2 + 2p – 12 = 0 (p – 2) (2p + 6) = 0  p 1 = 2; p 2 = - 3 p = 2  Q = 5;p = - 3  Q = 0 1.

52 SELAMAT UJIAN TENGAH SEMESTER


Download ppt "HUBUNGAN NON- LINEAR Pada Pertemuan kali ini, kita akan mempelajari ………….  Fungsi kuadrat - Identifikasi persamaan kuadrat - Lingkaran."

Presentasi serupa


Iklan oleh Google