Statistik Pentaabiran: Penganggaran untuk Populasi Tunggal

Penganggaran Statistik Penganggaran titik  nilai tunggal statistik yang dikira dari sampel Penganggaran selang  nilai selang yang dikira dari sampel statistik dan statistik piawai, seperti Z. Pemilihan statistik piawai adalah ditentukan oleh taburan persampelan. Pemilihan nilai kritikal bagi statistik piawai adalah ditentukan oleh keperluan paras keyakinan. 3

Selang Keyakinan terhadap Penganggaran  apabila n adalah besar Penganggaran Titik: Penganggaran selang: atau 4

Taburan Min Sampel bagi Keyakinan (1-)% 5

Taburan Min Sampel bagi Keyakinan (1-)% 6

Taburan Min Sampel bagi Keyakinan (1-)% 7

Tafsiran Kebarangkalian bagi Paras Keyakinan

Taburan Min Sampel bagi Keyakinan 95%

95% Selang Keyakinan untuk  Sebuah syarikat talipon cellular telah mengenalpasti min panggilan talipon untuk pelanggan ialah 153 minit dari sampel 85 orang pelanggannya. Katakan rekod lepas dan kajian yang sama menunjukkan bahawa sisihan piawai populasi ialah 46 minit. Anggarkan min populasi masa panggilan setiap pelanggan sebulan dengan selang keyakinan 95%. /2=0.025 /2=0.025 0.4750 0.4750  153 – 9.78    153 + 9.78 143.22    162.78

Contoh 1 Satu kajian telah dilakukan kepada syarikat di Malaysia yang menjalankan kajian di Cina. Satu daripada soalan ialah: Telah berapa lamakah syarikat anda menjalankann perniagaan dengan Cina? Satu sampel rawak 44 syarikat telah dipilih menghasilkan min 10.455 tahun. Katakan sisihan piawai populasi bagi soalan ini ialah 7.7 tahun. Menggunakan maklumat ini, jalankan selang keyakinan 90% min bilangan tahun syarikat di Malaysia telah menjalankan perniagaan di Cina bagi populasi syarikat Malaysia yang menjalankan perniagaan di Cina.

10.455 – 1.91    10.455 + 1.91 8.545    12.365 Kebarangkalian (8.545    12.365 = 0.90

Faktor Pembetulan Finit Selang Keyakinan untuk Menganggar  Menggunakan Faktor Pembetulan Finit

Contoh 2 Satu kajian telah dilakukan di dalam syarikat yang mempunyai 800 jurutera. Sampel rawak 50 jurutera ini mendapati purata umur sampel ialah 34.3 tahun. Rekod lama mendapati sisihan piawai umur jurutera syarikat ialah 8 tahun. Lakukan selang keyakinan 98% untuk menganggar unur semua jurutera di dalam syarikat ini. 34.3 – 2.554    34.3 + 2.554 31.75    36.85

Selang Keyakinan untuk Menganggar  apabila  Tidak Diketahui (n  30) atau 15

Contoh Sebuah syarikat sewa kereta mahu menganggar purata jarak perjalanan sehari bagi setiap kereta yang disewakannya. Sampel rawak 110 kereta dipilih dan mendapati min sampel jarak perjalanan sehari ialah 85.5 km, dengan sisihan piawai 19.3 km. Kirakan 99% selang keyakinan untuk menganggar . 85.5 – 4.7    85.5 + 4.7 80.8    90.2

Nilai Z bagi beberapan Paras Keyakinan yang biasa Digunakan 90% 95% 98% 99% Selang Keyakinan Nilai Z 1.645 1.960 2.330 2.575 17

Penganggaran Min Populasi: Saiz Sampel Kecil,  Tidak Diketahui Populasi mempunyai taburan normal Nilai sisihan piawai populasi tidak diketahui. Saiz sampel adalah kecil, n < 30. Taburan Z tidak sesuai digunakan dalam situasi ini Taburan t adalah lebih sesuai 18

Taburan t Dibentuk oleh ahli statistik British, William Gosset Keluarga kepada taburan – taburan yang unik bagi setiap nilai parameternya, darjah kebebasan (d.f.) Simetri, Unimodal, Min = 0, Lebih rata berbanding Z Formula t 19

Perbandingan Taburan t dengan Keluk Normal Piawai 20

Jadual Nilai Kritikal t df t0.100 t0.050 t0.025 t0.010 t0.005 1 3.078 6.314 12.706 31.821 63.656 2 1.886 2.920 4.303 6.965 9.925 3 1.638 2.353 3.182 4.541 5.841 4 1.533 2.132 2.776 3.747 4.604 5 1.476 2.015 2.571 3.365 4.032 23 1.319 1.714 2.069 2.500 2.807 24 1.318 1.711 2.064 2.492 2.797 25 1.316 1.708 2.060 2.485 2.787 29 1.311 1.699 2.045 2.462 2.756 30 1.310 1.697 2.042 2.457 2.750 40 1.303 1.684 2.021 2.423 2.704 60 1.296 1.671 2.000 2.390 2.660 120 1.289 1.658 1.980 2.358 2.617 1.282 1.645 1.960 2.327 2.576  21

Selang Keyakinan untuk Menganggar  Apabila  Tidak Diketahui dan Saiz Sampel adalah Kecil df = n - 1 22

Contoh Katakan penyelidik mahu menganggarkan purata masa cuti gantian yang terkumpul bagi saorang pengurus. Sampel rawak jam lebih masa 18 pengurus telah direkodkan di dalam minggu tertentu dan ditunjukkan sebagaimana berikut (di dalam jam)   6 21 17 20 7 0 8 16 29 3 8 12 11 9 21 25 15 16 Dapatkan 90% selang keyakinan untuk menganggarkan purata masa kerja lebih masa seminggu oleh pengurus syarikat tersebut. t0.05,17 = 1.740

Min sampel ialah 13.56 jam, dan sisihan piawai ialah 7.8 jam.

Contoh 8.3 Syarikat menyewa kereta telah cuba untuk membuat anggaran purata bilangan hari pelanggan menyewa kereta daripada syarikatnya. Oleh kerana ketiadaan maklumat, pengurus syarikat tersebut telah mengambil sampel rawak 14 pelanggan dan mencatitkan bilangan hari ia menyewa kereta tersebut subagaimana di bawah. Ia menggunakan data tersebut membina 99% selang keyakinan untuk menganggar purata bilangan hari menyewa kerata dan mengandaikan bilangan hari untuk setiap penyewaan adalah bertaburan normal di dalam populasi. 3 1 3 2 5 1 2 1 4 2 1 3 1 1

Kebarangkalian (1.10    3.18) = 0.99 Oleh kerana n = 14, df =13. Paras keyakinan 99% dihasilkan di dalam /2 = 0.005 keluasan di dalam setiap ekor taburan. Nilai jadual t ialah   t0.005,13 = 3.012 Min sampel ialah 2.14 dengan sisihan piawai sampel ialah 1.29. Selang keyakinan ialah 1.10    3.18 Kebarangkalian (1.10    3.18) = 0.99

Penganggaran Perkadaran Populasi 25

Contoh ^ ^ ^ p = 0.39 , n = 87, q = 1 – p = 1.00 – 0.39 = 0.61 kajian terhadap 87 syarikat yang dipilih secara rawak dengan operasi tele-pemasaran mendapati 39% daripada sampel syarikat telah menggunakan tele-pemasaran untuk membantu mereka memproses pesanan. Menggunakan maklumat ini, bagaimana penyelidik menganggarkan perkadaran populasi syarikat tele-pemasaran yang menggunakan operasi tele-pemasaran untuk membantu mereka di dalam memproses pesanan, dengan selang keyakinan 95%? ^ ^ ^ p = 0.39 , n = 87, q = 1 – p = 1.00 – 0.39 = 0.61

Kebarangkalian(0.29  P  0.49) = 0.95

Contoh 8.5 Syarikat pakaian mengeluarkan jean untuk lelaki. Jean tersebut dibuat dan dijual sama ada potongan biasa atau potongan ‘boot’. Dalam usaha untuk menganggar perkadaran pasaran jean lelaki tersebut di Kuala Lumpur untuk jean potongan ‘boot’, penganalisis mengambil sampel rawak 212 jean yang dijual oleh syarikat tersebut dari dua kedai di Kuala Lumpur. Hanya 34 daripada jualan adalah jean potongan ‘boot’. Jalankan 90% selang keyakinan untuk menganggar perkadaran populasi di Kuala Lumpur yang mengemari jean potongan ‘boot’. ^ ^ ^ p = 34/212 = 0.16 , n = 212, q = 1 – p = 1.00 – 0.16 = 0.84

Kebarangkalian (0.12  P  0.20) = 0.90

Varian Populasi Varian ialah songsangan ukuran homogeniti kumpulan. Varian adalah petunjuk penting jumlah kualiti untuk piawaian keluaran dan perkhidmatan. Pengurus perlu memperbaiki proses untuk mengurangkan varian. Varian mengukur risiko kewangan. Varian kadar pulangan membantu pengurus mengenalpasti alternatif pelaburan kewangan dan pelaburan. Variabiliti adalah realiti dalam pasaran global. Produktiviti, upah, dan taraf hidup adalah berbagai-bagai diantara kawasan dan negara. 27

Menganggar Varian Populasi Parameter Populasi 2 Penganggar 2: Formula 2 untuk varian tunggal: 28

Selang Keyakinan untuk 2 29

Beberapa Taburan 2 Terpilih 30

Jadual 2 df 0.975 0.950 0.100 0.050 0.025 1 9.82068E-04 3.93219E-03 2.70554 3.84146 5.02390 2 0.0506357 0.102586 4.60518 5.99148 7.37778 3 0.2157949 0.351846 6.25139 7.81472 9.34840 4 0.484419 0.710724 7.77943 9.48773 11.14326 5 0.831209 1.145477 9.23635 11.07048 12.83249 6 1.237342 1.63538 10.6446 12.5916 14.4494 7 1.689864 2.16735 12.0170 14.0671 16.0128 8 2.179725 2.73263 13.3616 15.5073 17.5345 9 2.700389 3.32512 14.6837 16.9190 19.0228 10 3.24696 3.94030 15.9872 18.3070 20.4832 20 9.59077 10.8508 28.4120 31.4104 34.1696 21 10.28291 11.5913 29.6151 32.6706 35.4789 22 10.9823 12.3380 30.8133 33.9245 36.7807 23 11.6885 13.0905 32.0069 35.1725 38.0756 24 12.4011 13.8484 33.1962 36.4150 39.3641 25 13.1197 14.6114 34.3816 37.6525 40.6465 70 48.7575 51.7393 85.5270 90.5313 95.0231 80 57.1532 60.3915 96.5782 101.8795 106.6285 90 65.6466 69.1260 107.5650 113.1452 118.1359 100 74.2219 77.9294 118.4980 124.3421 129.5613 31

Dua Nilai Jadual 2 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 df = 7 .05 .95 2.16735 14.0671 df 0.950 0.050 1 3.93219E-03 3.84146 2 0.102586 5.99148 3 0.351846 7.81472 4 0.710724 9.48773 5 1.145477 11.07048 6 1.63538 12.5916 7 2.16735 14.0671 8 2.73263 15.5073 9 3.32512 16.9190 10 3.94030 18.3070 20 10.8508 31.4104 21 11.5913 32.6706 22 12.3380 33.9245 23 13.0905 35.1725 24 13.8484 36.4150 25 14.6114 37.6525 32

Contoh Katakan lapan selinder aluminium 7-sm di dalam sampel yang diukur di dalam garispusat sebagaimana berikut:   6.91 sm 6.93 sm 7.01 sm 7.02 sm 7.05 sm 7.00 sm 6.98 sm 7.01 sm Kirakan selang selang keyakinan 90% bagi varian selinder aluminium tersebut. S2 = 0.0022125, df = n – 1 = 8 – 1, = 1.00 – 0.90 = 0.10.

Oleh itu selang keyakinan 2 Dari Jadual 2 Oleh itu selang keyakinan 2 0.05 0.95 0.05 0.001101  2  0.007146  Kebarangkalian (0.001101  2  0.007146) = 0.90

Contoh 8.6 Jabatan Buruh telah mengeluarkan data kos tuntutan pekerja sektor perkilangan diseluruh negara. Angka terakhir menunjukkan purata gaji sejam pekerja pengeluaran disektor perkilangan ialah RM9.63. Katakan kerajaan mahu menentukan berapa konsistennya angka ini. Ia mengambil 25 sempel rawak pekerja disektor perkilangan diseluruh negara dan menentukan sisihan piawai gaji sejam pekerja ialah RM1.12. Menggunakan maklumat ini untuk bentukkan 95% selang keyakinan untuk menganggar varian populasi untuk gaji sejam pekerja pengeluaran di dalam sektor perkilangan. Andaikan gaji sejam pekerja pengeluaran diseluruh negara disektor perkilangan adalah bertaburan normal. S = 1.12 ,S2 = 1.2544 , n = 25, df = n – 1 = 25 – 1 = 24, = 1.00 – 0.95 = 0.05. 33

Dari Jadual 2 Oleh itu selang keyakinan 2 0.7648  2  2.4277   Kebarangkalian (0.7648  2  2.4277) = 0.95

Terima Kasih

Menganggar Saiz Sampel apabila Menganggarkan  Formula Z Ralat Penganggaran (ralat boleh diterima) Anggaran Saiz Sampel Anggaran  35

Contoh Katakan penyelidik mahu menganggarkan purata perbelanjaan bulanan ke atas roti oleh penduduk Kuala Lumpur. Ia mahu 90% keyakinan bagi keputusannya. Berapa banyak ralat yang sanggup ia terima di dalam keputusannya? Katakan ia mahu menganggarkan disekitar RM1.00 angka sebenar dan sisihan piawai purata pembelian roti sebula ialah RM4.00. Apakah saiz sampel penganggaran bagi masalah ini? Nilai Z bagi 90% selang keyakinan ialah 1.645. Menggunakan Formula 8.8 dengan E = RM1.00,  = RM4.00, dan Z = 1.645 memberikan

Contoh 8.7 Katakan kita mahu menganggarkan purata usia semua kapalterbang Boeig 727 yang masih digunakan diseluruh Malaysia. Kita mahukan 95% keyakinan, dan memerlukan anggaran disekitar 2 tahun dari angka sebenar. Boeing 727 pertama kali digunakan 30 tahun yang lepas, tetapi kita percaya kapal terbang ini tidak aktif lagi lebih dari 25 tahun. Berapa besarkan saiz sampel yang perlu diambil? E = 2 tahun, Nilai Z untuk 95% = 1.94, dianggarkan = ¼ (Selangdiperlukan) = ¼ (25) = 6.25. 37

Menentukan Saiz Sampel apabila menganggar P Formula Z Ralat Penganggaran (Ralat yang diterima) Anggaran Saiz Sampel 38

Contoh 8.8 Satu kajian telah dijalankan untuk menentukan sejauh manakah majikan menggalakkan kesihatan dan kesegaran dikalangan pekerjanya. Satu soalah telah ditanya, Adakah syarikat anda menawarkan kelas latihan ditempat kerja? Katakan telah dianggarkan sebelum kajian dijalankan tidak lebih 40% daripada syarikat menjawab YA. Berapa besarkah sampel yang pelu diambil di dalam menganggarkan perkadaran populasi untuk menentukan 98% keyakinan di dalam keputusan dan disekitar 0.03 perkadaran populasi sebenar? E = 0.03 Anggaran P = 40% = 0.40 Selang keyakinan 98%  Z = 2.33 Q = 1 – P = 1.00 – 0.40 = 0.60 39

Menentukan Saiz Sampel apabila menganggar P Tanpa Maklumat Awal 0.5 0.4 0.3 0.2 0.1 PQ 0.25 0.24 0.21 0.16 0.09 P n 50 100 150 200 250 300 350 400 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 Z = 1.96 E = 0.05 40

Contoh 8.9 Satu keputusan kajian mendapati lebih kurang dua per tiga rakyat Malaysia mencuba satu keluaran baru di dalam tempoh 12 bulan yang lepas. Katakan satu organisasi industri keluaran mahu mengkaji rakyat Malaysia dan menyoal sama ada mereka memakan buah-buahan dan sayuran segar atau tidak di dalam tempoh satu tahun lepas. Organisasi tersebut mahu 90% keyakinan di dalam keputusannya dan mengekalkan ralat disekitar 0.05. Berapa besarkah sampel yang perlu diambil? E = 0.05 Tanpa anggaran awal P, gunakan P = 0.50. 90% keyakinan  Z = 1.645 Q = 1- P = 1 – 0.50 = 0.50 41