Aberta Yulia Lestari

Unsur-unsur Alabar Perhatikan + 2 X 4 Koefesien Konstanta Variabel

+ Koefisien adalah faktor konstanta dari suatu suku pada bentuk aljabar. Contoh: 6x + 4y + 5x – 7y + 9. Koefisien pada suku 6x adalah 6, 4y adalah 4, 5x adalah 5, dan –7y adalah –7. 2 X 4 Koefesien Konstanta Variabel

+ Variabel adalah lambang pengganti suatu bilangan yang belum diketahui nilainya dengan jelas. Variabel disebut juga peubah. Variabel biasanya dilambangkan dengan huruf kecil a, b, c, ..., z. 2 X 4 Koefesien Konstanta Variabel

+ Konstanta adalah suku dari suatu bentuk aljabar yang berupa bilangan dan tidak memuat variabel. 2 X 4 Koefesien Konstanta Variabel

Faktor Jika suatu bilangan a dapat diubah menjadi a = p x q dengan a, p, q bilangan bulat, maka p dan q disebut faktor-faktor dari a. Pada bentuk aljabar di atas, 5x dapat diuraikan sebagai 5x = 5 x x atau 5x = 1 x 5x. Jadi, faktor-faktor dari 5x adalah 1, 5, x, dan 5x.

Suku Suku Suku Sejenis Suku Tak Sejenis + 2X 4 Suku Suku

Suku adalah variabel beserta koefisiennya atau konstanta pada bentuk aljabar yang dipisahkan oleh operasi jumlah atau selisih. Suku Suku Sejenis Suku Tak Sejenis

Contoh: 5x dan –2x, 3a ² dan a ², y dan 4y, ... Suku-suku sejenis adalah suku yang memiliki variabel dan pangkat dari masing-masing variabel yang sama. Contoh: 5x dan –2x, 3a ² dan a ², y dan 4y, ... Suku Suku Sejenis Suku Tak Sejenis

Suku Suku Sejenis Suku Tak Sejenis Suku tak sejenis adalah suku yang memiliki variabel dan pangkat dari masing-masing variabel yang tidak sama. Contoh: NO BENTUK ALJABAR SUKU-SUKU SEJENIS 1 15X + 9Y + 7X + 3Y 15X dan 7X 9Y dan 3Y 2 22X + 12Y - 6X – 9Y 22X dan -6X 12Y dan -9Y

Suku satu adalah bentuk aljabar yang tidak dihubungkan oleh operasi jumlah atau selisih. Contoh : 3x, 2a2², -4xy, … Suku dua adalah bentuk aljabar yang dihubungkan oleh satu operasi jumlah atau selisih. Contoh : 2x + 3, a ² – 4, 3x ² – 4x, ... Suku tiga adalah bentuk aljabar yang dihubungkan oleh dua operasi jumlah atau selisih. Contoh : 2x ² – x + 1, 3x + y – xy, … Bentuk aljabar yang mempunyai lebih dari dua suku disebut suku banyak. Catatan

Catatan: Bentuk aljabar suku dua disebut juga binom, bentuk aljabar suku tiga disebut trinom, sedangkan bentuk aljabar suku banyakdisebut polinom. Di kelas IX nanti, kalian akan mempelajari pemfaktoran pada bentuk aljabar suku dua.

OPERASI HITUNG BENTUK ALJABAR Sebelum kita membahas mengenai operasi hitung pada bentuk aljabar sebaiknya terlebih dahulu kalian memahami tentang perkalian suatu konstanta dengan suku banyak dan tentang substitusi bilangan pada variabel (peubah) dari suku banyak. Untuk lebih jelasnya, perhatikan contoh berikut ini. 1. 3(a + 4) = 3a + 12 (sifat distributif) 2. – (x – 4) = – x + 4 3. 5n(x + 2y + 3) = 5nx + 6my + 9m Jika pada bentuk aljabar 5x + 3y, variabel x diganti dengan 2 dan variabel y diganti dengan 4, maka diperoleh: 5x + 3y = 5(2) + 3(4) = 10 + 12 Proses mengganti variabel dengan suatu bilangan disebut proses substitusi.

Penjumlahan dan Pengurangan Sifat-sifat penjumlahan dan pengurangan pada bilangan bulat juga berlaku pada bentuk aljabar tetapi operasi penjumlahan dan pengurangan pada bentuk aljabar hanya dapat dilakukan pada suku-suku yang sejenis saja. Operasi penjumlahan dan pengurangan pada bentuk aljabar dapat diselesaikan dengan menggunakan sifat distributif. Contoh 1. 4x + 3x = (4 + 3)x = 7x 2. 6a – 4a – 2a + 3a = (6– 4 – 2 + 3)a = 3a 3. 8a + 7b + a – 3b = 8a + a + 7b – 3b = (8 + 1)a + (7 – 3)b = 9a + 4b

1. 4x + 3x = (4 + 3)x = 7x 2. 6a – 4a – 2a + 3a = (6– 4 – 2 + 3)a = 3a 3. 8a + 7b + a – 3b = 8a + a + 7b – 3b = (8 + 1)a + (7 – 3)b = 9a + 4b Operasi penjumlahan pada bentuk aljabar di atas tidak dapat dilakukan karena suku sukunya tidak sejenis, yaitu 5x, 3y, dan 6 tidak sejenis. 5. Kurangkan bentuk aljabar berikut. a. 7x –3y - 5x – 2y b. 6x ² + 5x + 2 dari 7x ² + 2x – 3 Penyelesaian:

Penyelesaian 7x –3y - 5x – 2y = 7x – 3y – 5x - 2y = 2x – 5y b. 7x ² + 2x – 3 – (6x ² + 5x + 2) = =7x ² + 2x– 3 – 6x ² – 5x – 2 = x ² – 3x – 5

Operasi Hitung Perkalian dan Pembagian Pada bentuk-bentuk aljabar berlaku sifat-sifat penjumlahan dan perkalian seperti pada bilangan bulat. Beberapa sifat tersebut antara lain: a. Sifat komutatif Penjumlahan, yaitu a + b = b + a Perkalian, yaitu a × b = b × a b. Sifat asosiatif Penjumlahan, yaitu a + (b + c) = (a + b) +c Perkalian, yaitu a × (b × c) = (a × b) ×c c. Sifat distributif (perkalian terhadap penjumlahan), yaitu: a × (b + c) = (a × b) + (a × c). Pada perkalian antar suku aljabar, kita dapat menggunakan sifat distributif sebagai konsep dasarnya.

Perkalian Suku Satu dengan Suku Dua atau Suku Banyak Berikut ini disajikan beberapa contoh perkalian suku satu, baik perkalian dengan suku dua atau dengan suku banyak. Tentukan hasil penjumlahan dan pengurangan bentuk aljabar berikut ini! 6x (x - 2y) b. 8a (3ab - 2ab ² - 8ab)\ Penyelesaian: Gunakan sifat distributif untuk menyelesaikan permasalahan di atas. a. 6x (x – 2y) = (6x . x) – (6x (2y)) = 4x ² – 12xy b. 8a (3ab – 2ab ² – 8ab) = 8a ((3ab – 8ab) – 2ab ²) = 8a ((-5ab) – 2ab ²) = (8a x (-5ab)) - (8a . 2ab ²) = -40a ² b – 16a ² b ² (bagi dengan –8) = 5a ² b + 2a ² b ²

Perkalian Suku Dua dengan Suku Dua Masih sama dengan perkalian sebelumnya, penyelesaian perkalian suku dua atau binomial tetap menggunakan konsep dasar sifat distributif. Misalkan kita mempunyai suku dua (binomial) yang berbentuk (a + b) dan (c + d). Langkah- langkah penyelesaian yang harus dilakukan adalah seperti terlihat pada. (a + b)(c + d) = ac + ad + bc + bd Jadi (a + b)(c + d) = (ac + bc) + (ad + bd).

Perkalian suku dua dengan suku dua merupakan bentuk perkalian antara suku dua dengan dirinya sendiri atau dapat pula diartikan sebagai pengkuadratan suku dua. Misalkan kita mempunyai suku dua (x+y), maka langkah-langkah penyelesaiannya adalah sebagai berikut. (x+y)² = (x + y)(x + y) (pengkuadratan) = x (x + y) + y (x + y) (sifat distributif) = ((x.x) + (x.y)) + ((y.x) + (y.y)) (sifat distributif) = x² + xy + yx + y² (sifat komutatif) = x² + 2xy + y² `

Contoh Tentukan hasil kali dari (x – 3)(x + 3) Contoh Tentukan hasil kali dari (x – 3)(x + 3)! Penyelesaian: (x – 4)(x + 4) = (x - 4)(x + 4) = (x.x) + (x.4) + ((-4)x) + ((-4)(4)) = x ² + (4x) –4x – 16 = x ² – 16 Jadi (x – 3)(x + 3) = x ² – 16

PEMFAKTORAN SUKU ALJABAR Kalian masih ingat dengan istilah faktor suku aljabar? Bentuk aljabar xy merupakan perkalian dari x dengan y (xy = x × y). Maka yang menjadi faktor dari xy adalah x dan y. Begitu juga dengan bentuk a(x + y), dimana faktor dari a(x + y) adalah a dan (x + y). Jadi, yang dimaksud dengan pemfaktoran bentuk aljabar adalah menyatakan bentuk penjumlahan suku-suku ke dalam bentuk perkalian atau faktor.

Hukum distributif dan faktor persekutuan al jabar hukum distributif untuk bilangan a, b, c anggota bilangan real? pada hukum distributif berlaku aturan a × (b + c) = (a × b) + (a × c) Faktor Penjumlahan suku-suku Untuk memfaktorkan bentuk aljabar dapat menggunakan hukum distributif. Langkah pertama yang harus dilakukan adalah mencari faktor persekutuan terbesar dari setiap suku aljabar. Perhatikan contoh berikut:

Contoh Faktorkanlah bentuk aljabar berikut ini! a. 2x ² + 8x ² y b. 3x ² y – 15xy ² z Penyelesaian: a. 2x ² + 8x ² y = 2x ² (1 + 4y) (FPB 2x ² dan 8x ² y = 2x ²) b. 3x ² y – 15xy ² z = 3xy(x - 5yz) (FPB 3x ² y dan 15xy ² z = 3xy)

Contoh Faktorisasi Bentuk x ² + 2xy +y ² Ayo kita tinjau kembali hasil perkalian bentuk (x + y) ². Hasil perkalian dari (x + y) ² adalah x ² + 2xy + y ². Bentuk seperti ini disebut sebagai bentuk kuadrat sempurna. Bentuk kuadrat sempurna mempunyai beberapa ciri khusus, yaitu: a. Koefisien peubah pangkat dua (x ²) sama dengan 1. b. Konstanta merupakan hasil kuadrat setengah koefisien x. Perhatikan contoh berikut ini! Faktorkanlah bentuk kuadrat sempurna dari x ² + 8x + 16! Penyelesaian: Konstanta = ( ½ × 8) ² = 42, maka x ² + 8x + 16 = x² + 8x + (4) ² = (x +4) ² = (x + 4)(x + 4) Selain dengan cara di atas, memfaktorkan bentuk kuadrat sempurna dapat diselesaikan dengan hukum distributif. Caranya adalah mengubah suku 2xy menjadi penjumlahan dua suku (xy + xy), kemudian suku-suku tersebut difaktorkan. Contoh

Contoh Faktorkanlah bentuk kuadrat sempurna dari x ² + 8x + 16! Penyelesaian: x ² + 8x + 16 = x ² + 4x + 4x + 16 = (x ² + 4x) + (4x + 16) = x (x + 4) + 4(x + 4 = (x + 4) (x + 4) = (x + 4) ² Jadi faktor dari x ² + 4x + 16 adalah (x + 4) ²

Faktorisasi bentuk kuadrat ax2 + bx + 0 Selain faktorisasi bentuk x ² + 2xy + y ², faktorisasi bentuk kuadrat terdapat pula dalam bentuk ax ² + bx + c; dengan a, b, dan c merupakan bilangan real. a dan b merupakan koefisien, c adalah konstanta. Sedangkan yang menjadi peubah atau variabel adalah x ² dan x. Memfaktorkan bentuk ax2 + bx + c, jika a = 1 Untuk memfaktorkan bentuk aljabar seperti ini, kalian harus memperhatikan bentuk perkalian suku (x + y) dengan (x + z) berikut. (x + y)(x + z) = x(x + z) + y(x + z) (sifat distributif) = ((x.x)+(x.z))+((y.x)+(y.z)) (sifat distributif) = x ² + xz + xy + yz = x ² + (y + z)x + yz Contoh

Contoh Faktorkanlah bentuk aljabar dari x ² + 7x + 12! Penyelesaian: x ² + 7x + 12 = x ² + (y + z)x + yz y + z = 7 yz = 12 y dan z yang memenuhi adalah y = 3 dan z = 4 atau y = 4 dan z = 3. Jadi bentuk kuadrat dari x ² + 7x + 12 adalah: (x+y)(x+z) = (x + 3)(x + 4) atau (x+y)(x+z) = (x + 4)(x + 3).

Jadi faktor dari 2x2 + 3x – 14 adalah (2x + 7)(x - 2) Penyelesaian: Nilai p dan q yang memenuhi adalah p = –4 dan q = 7, atau p= 7 dan q = –4. Jadi, •Untuk p = –4 dan q = 7 2x2 + 3x – 14 = 2(x + -42 )( x + 72 ) = (x - 2)(2x + 7) Untuk p = 7 dan q = -4 2x2 + 3x – 14 = 2( x + 72 )(x + -42 ) = (2x + 7)(x - 2) Jadi faktor dari 2x2 + 3x – 14 adalah (2x + 7)(x - 2)

PECAHAN DALAM BENTUK ALJABAR  

Menyederhanakan pecahan bentuk aljabar Suatu pecahan bentuk aljabar dapat disederhanakan apabila pembilang dan penyebutnya memiliki faktor persekutuan atau faktor yang sama. Maka untuk menyederhanakan pecahan ini, kita harus mencari faktor persekutuan dari pembilang dan penyebutnya terlebih dahulu. Perhatikan contoh berikut ini! Sederhanakanlah bentuk aljabar berikut ini! Contoh 8ax2 + 24xy2 Penyelesaian: = 8x (ax + 3y2) (faktor dari 8ax2 dan 24xy2 = 8x).

Soal 1. –4ax + 7ax 2. (2x2 – 3x + 2) + (4x2 – 5x + 1) a. Tentukan hasil penjumlahan dan pengurangan bentuk aljabar berikut. 1. –4ax + 7ax 2. (2x2 – 3x + 2) + (4x2 – 5x + 1) 3. (3a2 + 5) – (4a2 – 3a + 2) 4. (x – 8y + 2z) + (–12x + 3y – 12z) 5. (2x ² + 5x + 4) – (x ² + 2x – 3) b. Sederhanakanlah bentuk-bentuk aljabar berikut. 1. 8p – 3 + (–3p) + 8 2. 9m + 4mn + (–12m) – 7mn 3. 2a2 + 3ab – 7 – 5a2 + 2ab – 4 4. 4x2 – 3xy + 7y – 5x2 + 2xy – 4y 5. –4p2 + 3pq – 2 – 6p2 + 8pq – 3 6. 12kl – 20mn –5kl – 3mn