RANK FULL MODEL (INTERVAL ESTIMATION) Diketahui Z variabel random normal standar dan variabel random berdistribusi chi-squared dengan derajat bebas n dan saling bebas, maka variabel random berdistribusi t dengan derajat bebas n.

Pendugaan interval terhadap β0, β1, …, βk, memerlukan asumsi bahwa ε berdistribusi normal dengan rata-rata 0 dan varians σ2I. Diketahui bahwa b=(X΄X)-1X΄y, setiap elemen dari b mrpk kombinasi linier dari y1, y2, …, yn. Maka b adalah vektor random berdistribusi normal dengan rata-rata β dan varians (X΄X)-1σ2.

Theorema Diketahui y=Xβ+ε dengan X matrik rank penuh dengan ordo nx(k+1)=nxp, β adalah vektor (k+1)x1 dari parameter yang tidak diketahui dan ε adalah vektor random nx1 berdistribusi normal dengan rata-rata 0 dan varians σ2I. Maka mengikuti distribusi ch-square dengan derajat bebas n-p dan parameter noncentral (λ) sama dengan 0.

Theorema Diketahui y=Xβ+ε dengan X matrik rank penuh dengan ordo nx(k+1)=nxp, β adalah vektor (k+1)x1 dari parameter yang tidak diketahui dan ε adalah vektor random nx1 berdistribusi normal dengan rata-rata 0 dan varians σ2I. Maka b dan SSRes/σ2 adalah saling bebas.

Bukti: b=(X΄X)-1X΄y=By dan y mrpkn r. v Bukti: b=(X΄X)-1X΄y=By dan y mrpkn r.v. berditribusi normal dengan rata-rata Xβ dan varians V= σ2I, dan A matrik simetris.

Perhatikan matrik variance-covariance dari b yaitu (X΄X)-1σ2 Perhatikan matrik variance-covariance dari b yaitu (X΄X)-1σ2. Bentuk lain adalah: Dari matriks, varians b0, b1, b2, … , bk merupakan diagonal utama. Variance dari bi dinotasikan dengan ciiσ2. Karena berdistribusi normal dengan rata-rata βi dan varians ciiσ2, maka variabel acak yang dibakukan menjadi

Perhatikan variabel acak SSRes/σ2 dan b saling bebas maka variabel acak mengikuti distribusi t dengan derajat bebas n-p.

100(1-α)% confidence interval untuk βi adalah

Pendugaan Interval untuk fungsi linier β Fungsi linier dari β dpt dinyatakan sebagai t΄β dimana t΄ adalah vektor skalar dengan ukuran 1x(k+1). Penduga BLUE untuk t΄β adalah t΄b dengan b adalah penduga least square untuk β. y merupakan vektor berdistribusi normal dengan rata-rata Xβ dan varians σ2I Karena t΄b=t΄(X΄X)-1X΄y merupakan fungsi dari y1, y2, …, yn yang berdistribusi normal, sehingga t΄b juga berdistribusi normal.

E(t΄b)=t΄β Var(t΄b) = var(t΄(X΄X)-1X΄y) = var[X(X΄X)-1t]΄y = t΄(X΄X)-1X΄σ2IX(X΄X)-1t = t΄(X΄X)-1tσ2 Sehingga: mengikuti distribusi normal baku.

SSres/σ2 dan t΄b saling bebas sehingga ratio: mengikuti distribusi t dengan derajat bebas n-p confidence interval untuk t΄β adalah:

Pendugaan interval di atas dpt juga digunakan untuk menentukan pendugaan interval untuk rata-rata respon pada nilai x tertentu. Misal x*1, x*2, … ,x*k adalah nilai spesifik dari variabel x1, x2, … ,xk maka rata-rata respon adalah E(y)= β0 + β1 x*1 + β2 x*2 + … + βk x*k confidence interval untuk rata-rata respons: