Presentasi sedang didownload. Silahkan tunggu

Presentasi sedang didownload. Silahkan tunggu

Herlina Setiyaningsih Civil Engineering Department Petra Christian Universit y.

Presentasi serupa


Presentasi berjudul: "Herlina Setiyaningsih Civil Engineering Department Petra Christian Universit y."— Transcript presentasi:

1 Herlina Setiyaningsih Civil Engineering Department Petra Christian Universit y

2 PD Linier Non homogen orde 2 PD Lengkap y” + py’ + qy = f(x) PUPD: y = y c + y p y c = diperoleh dari PR (PD homogen) y p = diperoleh dengan 3 metode: 1. Koefisien tak tentu 2. Variasi parameter 3. Operator D Jurusan Teknik SipilMatematika III (TS 4353) Fakultas Teknik Sipil dan Perencanaan Universitas Kristen PetraBab 1

3 Koefisien Tak Tentu Berlaku untuk persamaan dengan koefisien konstanta dan ruas kanan r(x) yang berupa suatu fungsi eksponensial, polinomial, cos dan sin atau jumlah fungsi-fungsi semacam itu. Jurusan Teknik SipilMatematika III (TS 4353) Fakultas Teknik Sipil dan Perencanaan Universitas Kristen PetraBab 1 Suku di dalam r(x)ypyp ke ax Ce ax kx n ( n = 0,1,…)K n x n + K n-1 x n-1 + … + K 1 x + K 0 k cos ωx K cos ωx + M sin ωx k sin ωx ke ax cos ωx e ax (K cos ωx + M sin ωx) ke ax sin ωx

4 Kaidah untuk metode koefisien tak tentu Kaidah dasar. Jika r(x) di dalam persamaan non homogen merupakan salah satu fungsi pada kolom pertama tabel, maka digunakan fungsi y p pada kolom yang kedua dan menentukan koefisiennya dengan cara mensubtitusikan y p dan turunannya ke dalam persamaan non homogen. Kaidah modifikasi. Jika r(x) adalah solusi bagi persamaan homogen padanan persamaan non homogen, maka kalikan y p yang dipilih dengan x (atau dengan x 2 jika solusi ini berasal dari akar kembar persamaan ciri bagi persamaan homogen tersebut). Jurusan Teknik SipilMatematika III (TS 4353) Fakultas Teknik Sipil dan Perencanaan Universitas Kristen PetraBab 1

5 Kaidah jumlah. Jika r(x) merupakan jumlah beberapa fungsi di dalam kolom pertama dari tabel, maka digunakan y p dari kolom dua, dimana y p ini merupakan jumlah fungsi-fungsi padanannya. Jurusan Teknik SipilMatematika III (TS 4353) Fakultas Teknik Sipil dan Perencanaan Universitas Kristen PetraBab 1

6 Example 1 y” – 2y’ + y = e 3x subs: y=e kx k 2 – 2k + 1 = 0 (k-1)(k-1)=0 k=1 or k=1 y c = e x (c 1 + c 2 x) Jurusan Teknik SipilMatematika III (TS 4353) Fakultas Teknik Sipil dan Perencanaan Universitas Kristen PetraBab 1

7 Example 1 (Lanjutan) y p = Ce 3x y’ p = 3Ce 3x y” p = 9Ce 3x 9Ce 3x – 2(3Ce 3x) + Ce 3x = 0 4 Ce 3x = e 3x 4 C= 1  C= ¼ PUPD : y =y c + y p = e x (c 1 + c 2 x) + 1/4e 3x Jurusan Teknik SipilMatematika III (TS 4353) Fakultas Teknik Sipil dan Perencanaan Universitas Kristen PetraBab 1

8 Example 2 y” – 5y’ + 6y = 3e 4x ?

9 Example 2 y” – 5y’ + 6y = 3e 4x y” – 5y’ + 6y = 0 subs: y=e kx k 2 – 5k + 6 = 0 (k-2)(k-3) = 0 k = 2 or k = 3 y c = c 1 e 2x +c 2 e 3x y p = Ce 4x y’ p = 4Ce 4x y” p = 16Ce 4x 16Ce 4x – 5(4Ce 4x )+ 6(Ce 4x ) = 3e 4x 2Ce 4x = 3e 4x C = 3/2 y p = 3/2e 4x PUPD = y = y c + y p = c 1 e 2x +c 2 e 3x + 3/2e 4x Jurusan Teknik SipilMatematika III (TS 4353) Fakultas Teknik Sipil dan Perencanaan Universitas Kristen PetraBab 1

10 Example 3 y” – 5y’ + 6y = 2x y” – 5y’ + 6y = 0 subs: y=e kx k 2 – 5k + 6 = 0 (k-2)(k-3) = 0 k = 2 or k = 3 y c = c 1 e 2x +c 2 e 3x y p = K 1 x + K 0 y’ p = K 1 y” p = 0 0 – 5K 1 + 6(K 1 x + K 0 ) = 2x 6 K 1 x + 6K 0 - 5K 1 = 2x K 1 = 2  K 1 = 1/3 6K 0 - 5K 1 = 0  K 0 = 5/18 y p = 1/3x + 5/18 PUPD = y = y c + y p = c 1 e 2x +c 2 e 3x + 1/3x + 5/18 Jurusan Teknik SipilMatematika III (TS 4353) Fakultas Teknik Sipil dan Perencanaan Universitas Kristen PetraBab 1

11 Example 4 y” – 5y’ + 6y = x 2 +2x+1 ? Jurusan Teknik SipilMatematika III (TS 4353) Fakultas Teknik Sipil dan Perencanaan Universitas Kristen PetraBab 1

12 Example 4 y” – 5y’ + 6y = x 2 +2x+1 y” – 5y’ + 6y = 0 subs: y=e kx k 2 – 5k + 6 = 0 (k-2)(k-3) = 0 k = 2 or k = 3 y c = c 1 e 2x +c 2 e 3x y p = K 2 x 2 + K 1 x + K 0 y’ p = 2K 2 x + K 1 y” p = 2K 2 2K 2 – 5(2K 2 x + K 1 )+ 6(K 2 x 2 + K 1 x + K 0 ) = x 2 +2x+1 6K 2 x 2 –(10K 2 + 6K 1 )x + (2K 2 – 5K 1 + 6K 0 )= x 2 +2x+1 6K 2 = 1  K 2 = 1/6 - 10K 2 + 6K 1 = 2  K 1 = 11/18 Jurusan Teknik SipilMatematika III (TS 4353) Fakultas Teknik Sipil dan Perencanaan Universitas Kristen PetraBab 1

13 Example 4 (Lanjutan) 2K 2 – 5K 1 + 6K 0 = 1 1/3 – 55/18 + 6K 0 = 1 6K 0 = ( )/18 K 0 = 67/108 y p = 1/6x /18x + 67/108 PUPD = y = y c + y p = c 1 e 2x +c 2 e 3x + 1/6x /18x + 67/108 Jurusan Teknik SipilMatematika III (TS 4353) Fakultas Teknik Sipil dan Perencanaan Universitas Kristen PetraBab 1

14 Example 5 y” – 5y’ + 6y = 2 sin 3x y” – 5y’ + 6y = 0 subs: y=e kx k 2 – 5k + 6 = 0 (k-2)(k-3) = 0 k = 2 or k = 3 y c = c 1 e 2x +c 2 e 3x Jurusan Teknik SipilMatematika III (TS 4353) Fakultas Teknik Sipil dan Perencanaan Universitas Kristen PetraBab 1

15 Example 5 (Lanjutan) Jurusan Teknik SipilMatematika III (TS 4353) Fakultas Teknik Sipil dan Perencanaan Universitas Kristen PetraBab 1 y p = K cos 3x + M sin 3x y’ p = -3K sin 3x + 3M cos 3x y” p = -9K cos 3x - 9M sin 3x (-9K cos 3x - 9M sin 3x) – 5(-3K sin 3x + 3M cos 3x )+ 6(K cos 3x + M sin 3x) = 2 sin 3x cos 3x(-9K – 15M+ 6K) + sin 3x(-9M+15K + 6M)= 2 sin 3x (-3K – 15M) cos 3x + (-3M+15K) sin 3x= 2 sin 3x K = -5/36; M = -1/36 y p = -5/36 cos 3x – 1/36 sin 3x PUPD = y = y c + y p = c 1 e 2x +c 2 e 3x + 1/6x 2 -5/36 cos 3x – 1/36 sin 3x

16 Example 6 (Kaidah 2) y” – 3y’ + 2y = e x y” – 3y’ + 2y = 0 subs: y=e kx k 2 – 3k + 2 = 0 (k-1)(k-2) = 0 k = 1 or k = 2 y c = c 1 e x +c 2 e 2x y p = Cxe x y’ p = Ce x + Cxe x y” p = 2Ce x + Cxe x (2Ce x + Cxe x ) – 3(Ce x + Cxe x )+ 2(Cxe x ) = e x -Ce x = e x C = -1 y p = -xe x PUPD = y = y c + y p = c 1 e x +c 2 e 2x - xe x Jurusan Teknik SipilMatematika III (TS 4353) Fakultas Teknik Sipil dan Perencanaan Universitas Kristen PetraBab 1

17 Example 7 (Kaidah 3) y” + 2y’ + 5y = 16e x + sin 2x y” + 2y’ + 5y = 0 subs: y=e kx k 2 + 2k + 5 = 0 = -1 ± 2i y c = e -x (c 1 cos 2x + c 2 sin 2x) Jurusan Teknik SipilMatematika III (TS 4353) Fakultas Teknik Sipil dan Perencanaan Universitas Kristen PetraBab 1

18 Example 7 (Lanjutan) y p = Ce x + K cos 2x + M sin 2x y’ p = Ce x - 2K sin 2x + 2M cos 2x y” p = Ce x - 4K cos 2x - 4M sin 2x (Ce x - 4K cos 2x - 4M sin 2x ) + 2(Ce x - 2K sin 2x + 2M cos 2x)+ 5(Ce x + K cos 2x + M sin 2x ) = 16e x + sin 2x 8Ce x + (-4K + 4M + 5K) cos 2x + (-4M – 4K + 5M) sin 2x = 16e x + sin 2x 8C = 16  C = 2 -4K + M = 1K = -4/17 K + 4M = 0M = 1/17 Jurusan Teknik SipilMatematika III (TS 4353) Fakultas Teknik Sipil dan Perencanaan Universitas Kristen PetraBab 1

19 Example 7 (Lanjutan) y p = 2e x – 4/17 cos 2x + 1/17 sin 2x PUPD = y = y c + y p = e -x (c 1 cos 2x + c 2 sin 2x) + 2e x – 4/17 cos 2x + 1/17 sin 2x Jurusan Teknik SipilMatematika III (TS 4353) Fakultas Teknik Sipil dan Perencanaan Universitas Kristen PetraBab 1

20 Example 8 y”+ y = 0,001 x 2 ; y(0) = 0; y’(0) = 1,5 y” + y = 0 subs: y=e kx k = 0 k 2 = -1 k = ± √-1 y c = c 1 cos x+c 2 sin x y p = K 2 x 2 + K 1 x + K 0 y’ p = 2K 2 x + K 1 y” p = 2K 2 2K 2 – 0(2K 2 x + K 1 )+ (K 2 x 2 + K 1 x + K 0 ) = 0,001 x 2 K 2 x 2 = 0,001x 2 K 2 = 0,001 K 1 x=0  K 1 =0 2K 2 + K 0 = 0 K 0 = -0,002 Jurusan Teknik SipilMatematika III (TS 4353) Fakultas Teknik Sipil dan Perencanaan Universitas Kristen PetraBab 1

21 Example 8 (Lanjutan) y p = 0,001x 2 – 0,002 PUPD = y = y c + y p = c 1 cos x + c 2 sin x + 0,001x 2 – 0,002 y(x) = c 1 cos x + c 2 sin x + 0,001x 2 – 0,002 Y(0) = 0 c 1 cos 0 + c 2 sin 0 + 0, – 0,002 = 0 c 1 = 0,002 y’(x) = -c 1 sin x + c 2 cos x + 0,002x Y’(0) = 1,5 -0,002 sin 0 + c 2 cos 0 + 0,002x = 1,5 c 2 = 1,5 Sehingga : y= 0,002 cos x + 1,5 sin x + 0,001x 2 – 0,002 Jurusan Teknik SipilMatematika III (TS 4353) Fakultas Teknik Sipil dan Perencanaan Universitas Kristen PetraBab 1

22 Example 9 (Kaidah 4) y” - 3y’ - 4y = e x sin 2x y” - 3y’ - 4y = 0 subs: y=e kx k 2 - 3k - 4 = 0 (k - 4)(k + 1) = 0 k = 4 or k = -1 y c = c 1 e 4x +c 2 e -x Jurusan Teknik SipilMatematika III (TS 4353) Fakultas Teknik Sipil dan Perencanaan Universitas Kristen PetraBab 1

23 Exercise y” + 25y = 5x; y(0) = 5; y’(0) = -4,8 y” + 3y’ +2,25 y = -10 e -1,5x ; y(0) = 1; y’(0) = 0 y” + 2y’ + 5y = e 0,5x + 40 cos 10x – 190 sin 10x ; y(0) = 0,16; y’(0) = 40,08

24 Variation of parameters y” + p(x)y’ + q(x)y = f(x) y c (x) = c 1 y 1 (x) + c 2 y 2 (x) y p (x) = u(x)y 1 (x) + v(x)y 2 (x) u’y 1 + v’y 2 =0 u’y 1 ’+ v’y 2 ’=f(x) Aturan Cramet ax + by = c dx + ey = f Jurusan Teknik SipilMatematika III (TS 4353) Fakultas Teknik Sipil dan Perencanaan Universitas Kristen PetraBab 1

25 Example 1 y” – 5y’+ 6y=e x PR: y” – 5y’+ 6y=0  subs: y=e kx PK: k 2 – 5k + 6 = 0 (k-2)(k-3) = 0 k = 2 or k = 3 y c = c 1 e 2x +c 2 e 3x y p = ue 2x +ve 3x y 1 =e 2x  y 1 ’=2e 2x y 2 =e 3x  y 2 ’=3e 3x Jurusan Teknik SipilMatematika III (TS 4353) Fakultas Teknik Sipil dan Perencanaan Universitas Kristen PetraBab 1

26 Example 1 (Lanjutan) u’y 1 + v’y 2 =0  u’e 2x + v’e 3x = 0 u’y 1 ’+ v’y 2 ’=f(x)  u’2e 2x + v’3e 3x = e x Jurusan Teknik SipilMatematika III (TS 4353) Fakultas Teknik Sipil dan Perencanaan Universitas Kristen PetraBab 1

27 Example 1 (Lanjutan) y p =uy 1 + vy 2 = e -x e 2x +(-1/2e -2x )e 3x = e x - 1/2e x = 1/2e x PUPD: y = y c + y p = c 1 e 2x +c 2 e 3x + 1/2e x Jurusan Teknik SipilMatematika III (TS 4353) Fakultas Teknik Sipil dan Perencanaan Universitas Kristen PetraBab 1

28 Example 2 y” + y = sec x PR: y” + y=0  subs: y=e kx PK: k = 0 k 2 = -1 k = ± √-1 y c = c 1 cos x + c 2 sin x y p = u cos x + v sin x y 1 = cos x  y 1 ’= - sin x y 2 = sin x  y 2 ’= cos x

29 Example 2 (Lanjutan) u’y 1 + v’y 2 =0  u’ cos x + v’ sin x = 0 u’y 1 ’+ v’y 2 ’=f(x)  u’(-sinx )+ v’ cos x = sec x Jurusan Teknik SipilMatematika III (TS 4353) Fakultas Teknik Sipil dan Perencanaan Universitas Kristen PetraBab 1

30 Example 2 (Lanjutan) y p =uy 1 + vy 2 = ln |cos x| cos x + x sin x PUPD: y = y c + y p = (c 1 + ln |cos x|) cos x + (c 2 +x) sin x Jurusan Teknik SipilMatematika III (TS 4353) Fakultas Teknik Sipil dan Perencanaan Universitas Kristen PetraBab 1

31 Example 3 y” – 2y’ + y = e x / (1+x 2 ) ?


Download ppt "Herlina Setiyaningsih Civil Engineering Department Petra Christian Universit y."

Presentasi serupa


Iklan oleh Google