Presentasi sedang didownload. Silahkan tunggu

Presentasi sedang didownload. Silahkan tunggu

BAB VII RUANG VEKTOR UMUM. 7.1 Ruang Vektor Real Misal V adalah suatu himpunan tak kosong dari objek- objek sembarang dengan operasi penjumlahan dan perkalian.

Presentasi serupa


Presentasi berjudul: "BAB VII RUANG VEKTOR UMUM. 7.1 Ruang Vektor Real Misal V adalah suatu himpunan tak kosong dari objek- objek sembarang dengan operasi penjumlahan dan perkalian."— Transcript presentasi:

1 BAB VII RUANG VEKTOR UMUM

2 7.1 Ruang Vektor Real Misal V adalah suatu himpunan tak kosong dari objek- objek sembarang dengan operasi penjumlahan dan perkalian dengan skalar. Jika aksioma berikut dipenuhi oleh u, v, w pada V dan semua skalar k dan l, maka V disebut ruang vektor dan objek-objek pada V disebut vektor. 1.Jika u dan v adalah objek-objek pada V, maka v + u berada pada V. 2. u + v = v + u 3. u + (v + w) = (u + v) + w

3 4.Di dalam V trdapat suatu objek 0, yang disebut vektor 0 untuk V, sedemikian rupa, sehingga 0 + u = u + 0 = u untuk semua u pada V. 5.Untuk setiap u pada V, terdapat suatu objek –u pada V, yang disebut sebagai negatif dari u, sedemikian rupa sehingga u + (–u ) = –u + u = 0 6.Jika k adalah skalar sembarang dan u adalah objek sembarang pada V, maka ku terdapat pada V. 7. k(u + v) = ku + kv 8.(k + l)u = ku + lu 9. k(lu) = (kl)(u) 10. 1u = u

4 Contoh 7.1 Tunjukkan bahwa himpunan V dari semua matriks 2 x 2 dengan entri-entri real adalah suatu ruang vektor jika penjumlahan vektor didefinisikan sebagai penjumlahan matriks dan perkalian skalar vektor didefinisikan sebagai perkalian skalar matriks. Penyelesaian Aksioma 1 u + v adalah matriks 2 x 2 dengan entri-entri real (memenuhi aksioma 1).

5 Aksioma 2 u + v = v + u adalah matriks 2 x 2 dengan entri-entri real (memenuhi aksioma 2). Aksioma 3 u + (v + w) = (u + v) + w adalah matriks 2 x 2 dengan entri-entri real (memenuhi aksioma 3).

6 Aksioma 4 u + 0 = u dan merupakan matriks 2 x 2 dengan entri-entri real (memenuhi aksioma 4). Aksioma 5

7 ku merupakan matriks 2 x 2 dengan entri-entri real (memenuhi aksioma 6). Aksioma 6 u + (–u) = (–u ) + u dan merupakan matriks 2 x 2 dengan entri-entri real (memenuhi aksioma 5).

8 Aksioma 7 k(u+v) = ku + kv dan merupakan matriks 2 x 2 dengan entri-entri real (memenuhi aksioma 7).

9 Aksioma 8 (k+l) u = ku + lu dan merupakan matriks 2 x 2 dengan entri-entri real (memenuhi aksioma 8). Aksioma 9 (k+l) u = ku + lu dan merupakan matriks 2 x 2 dengan entri-entri real (memenuhi aksioma 9).

10 Aksioma 10 1u = u dan merupakan matriks 2 x 2 dengan entri-entri real (memenuhi aksioma 10).

11 7.2 Sub-ruang vektor Jika W adalah semua himpunan yang terdiri dari satu atau lebih vektor dari suatu ruang vektor V, maka W adalah suatu sub-ruang dari V, jika dan hanya jika syarat-syarat berikut terpenuhi. 1. Jika u dan v adalah vektor-vektor pada W, maka u + v berada pada W. 2. Jika k adalah skalar sembarang dan u adalah vektor sembarang pada W, maka ku berada pada W.

12 Contoh 7.2 Diketahui W adalah himpunan titik–titik di bidang dengan ordinat 0 dengan operasi standar R 2, tunjukkan bahwa W merupakan sub–ruang dari R 2 ! Penyelesaian Akan ditunjukkan bahwa W memenuhi dua syarat sub–ruang vektor, yaitu : 1. W = {x,0} untuk sembarang nilai x, x ∈ R Misalkan a = (x 1, 0) dan b = (x 2, 0) dengan x 1, x 2 ∈ R, maka a, b ∈ W a + b = (x 1 + x 2, 0 ) dengan x 1 + x 2 ∈ R. Jadi a + b ∈ R Syarat ke–1 terpenuhi.

13 2.Untuk skalar k, maka k a = ( kx 1, 0 ) dengan kx 1 ∈ R, jadi k a ∈ R Jadi syarat ke–2 terpenuhi Karena kedua syarat terpenuhi, maka W merupakan sub–ruang R 2

14 Merentang (Spanning) Misal v 1, v 2, …, v r, adalah vektor-vektor pada suatu ruang vektor V. Himpunan {v 1, v 2, …, v r } dikatakan merentang V Jika setiap vektor sembarang pada V merupakan kombinasi Linier dari v 1, v 2, …, v r. Ditulis Span {v 1, v 2, …, v r } = V Contoh 7.3 Periksa, apakah himpunan V = {(1, 2), (1, 3)} merentang ruang vektor R 2 Penyelesaian Ambil sembarang vektor b = (b 1, b 2 ) pada R 2 Syarata agar V merentang ruang vektor R 2 adalah k 1 v 1 + k 2 v 2 = b

15 k 1 (1, 2) + k 2 (1, 3) = (b 1, b 2 ) k 1 + k 2 = b 1 2k 1 + 3k 2 = b 2 Latihan Tentukan, apakah vektor-vektor berikut merentang R 3 a) (2, 2, 2), (0, 0, 3), (0, 1, 1) b) (2, –1, 3), (4, 1, 2), (8, –1, 8)

16 7.3 Kebebasan Linier Jika S = {v 1, v 2, …, v r } adalah himpunan takkosong vektor-vektor, maka persamaan vektor, k 1 v 1 + k 2 v 2 + … + k r v r = 0 memiliki paling tidak satu solusi, yaitu k 1 = 0, k 2 = 0, …, k r = 0 Jika solusi tersebut merupakan satu-satunya solusi, maka S disebut sebagai himpunan bebas linier (linearly independent) Jika terdapat solusi lain, maka S disebut sebagai himpunan tidak bebeas linier (linearly dependent)

17 Contoh 7.3 Tentukan apakah vektor-vektor: v 1 = (2, –1, 0, 3), v 2 = (1, 2, 5, –1), v 3 = (7, –1, 5, 8), membentuk suatu himpunan bebas linier atau tak-bebas linier Penyelesaian k 1 v 1 + k 2 v 2 + k 3 v 3 = 0 k 1 (2, –1, 0, 3) + k 2 (1, 2, 5, –1) + k 3 (7, –1, 5, 8) = (0, 0, 0) 2k 1 + k 2 + 7k 3 = 0 – k 1 + 2k 2 – k 3 = 0 0k 1 + 5k 2 + 5k 3 = 0 3k 1 – k 2 + 8k 3 = 0

18 ½ R 1 R 2 + R 1 R 4 – 3R 1 R 4 + R 2 R 3 – 2R 2 2/5 R 2

19 k 1 + 1/2k 2 + 7/2 k 3 = 0 k 2 + k 3 = 0 Tentukan k 3 = –t Didapat k 2 = t, k 1 = 3t Jika t = 1, maka k 3 = –1, k 2 = 1, k 1 = 3 Sehingga memenuhi 3v 1 + v 2 – v 3 = 0 Himpunan vektor-vektor S = {v 1, v 2, v 3 } tidak bebas linier, karena memenuhi 3v 1 + v 2 – v 3 = 0

20 Latihan Tentukan, apakah vektor-vektor pada R 3 berikut bebas linier atau tak bebas linier! a) (4, –1, 2), (–4, 10, 2) b) (–3, 0, 4), (5, –1, 2), ( 1, 1, 3) c) (–1, 0, 1), (3, 2, 5), ( 6, –1, 1), (7, 0, –2)

21 Interpretasi Geometrik dari kebebasan Linier Kebebasan linier mempunyai sejumlah interpretasi geometrik yang berguna pada R 2 dan R 3, yaitu: 1.Pada R 2 atau R 3, suatu himpuan yang terdiri dari dua vektor adalah bebas linier jika dan hanya jika vektor-vektor tsb tdk terletak pada garis yang sama ketika ditempatkan sedemikian rupa sehingga titik awalnya terletak pada titik asal. z y x v1v1 v2v2 z y x v1v1 v2v2 z y x v1v1 v2v2 Tidak bebas linier Tidak bebas linier Bebas linier

22 2. Pada R 3, suatu himpuan yang terdiri dari tiga vektor adalah bebas linier jika dan hanya jika vektor-vektor tsb tidak terletak pada bidang yg sama ketika ditempatkan sedemikian rupa sehingga titik awalnya terletak pada titik asal. Tidak bebas linier z y x v1v1 v3v3 v2v2 Tidak bebas linier z y x v1v1 v2v2 v3v3 Bebas linier z y x v1v1 v3v3 v2v2

23 Kebebasan Linier dari Fungsi Jika terdapat f 1 = f 1 (x), f 2 = f 2 (x), …, f n = f n (x), maka determinan dari, disebut sebagai Wroskians dari f 1, f 2, …, f n. Jika Wronskians dari f 1, f 2, …, f n tidak identik dengan nol, Maka fungsi-fungsi f 1, f 2, …, f n membentuk suatu himpunan bebas linier pada ruang vektor C (n-1) (– ,  ).


Download ppt "BAB VII RUANG VEKTOR UMUM. 7.1 Ruang Vektor Real Misal V adalah suatu himpunan tak kosong dari objek- objek sembarang dengan operasi penjumlahan dan perkalian."

Presentasi serupa


Iklan oleh Google