Presentasi sedang didownload. Silahkan tunggu

Presentasi sedang didownload. Silahkan tunggu

Powerpoint Templates Page 1 MATRIKS. Powerpoint Templates Page 2 DAFTAR SLIDE Operasi Matriks Jenis-Jenis Matriks Determinan Matriks 22 Inverse Matriks.

Presentasi serupa


Presentasi berjudul: "Powerpoint Templates Page 1 MATRIKS. Powerpoint Templates Page 2 DAFTAR SLIDE Operasi Matriks Jenis-Jenis Matriks Determinan Matriks 22 Inverse Matriks."— Transcript presentasi:

1 Powerpoint Templates Page 1 MATRIKS

2 Powerpoint Templates Page 2 DAFTAR SLIDE Operasi Matriks Jenis-Jenis Matriks Determinan Matriks 22 Inverse Matriks

3 Powerpoint Templates Page 3 DEFINISI MATRIKS 33 kumpulan bilangan yang disajikan secara teratur dalam baris dan kolom yang membentuk suatu persegi panjang, serta termuat diantara sepasang tanda kurung. Apakah yang dimaksud dengan Matriks ?

4 Powerpoint Templates Page 4 NOTASI MATRIKS 44  Nama matriks menggunakan huruf besar  Anggota-anggota matriks dapat berupa huruf kecil maupun angka  Digunakan kurung biasa atau kurung siku  Ordo matriks atau ukuran matriks merupakan banyaknya baris (garis horizontal) dan banyaknya kolom (garis vertikal) yang terdapat dalam matriks tersebut.

5 Powerpoint Templates Page 5 NOTASI MATRIKS 55  Jadi, suatu matriks yang mempunyai m baris dan n kolom disebut matriks berordo atau berukuran m x n.  Memudahkan menunjuk anggota suatu matriks Notasi A = (a ij ) A = Dengan i = 1,2,...,m j = 1,2,...,n

6 Powerpoint Templates Page 6 MATRIKS 66  Contoh : Matriks A merupakan matriks berordo 4x2  Bilangan-bilangan yang terdapat dalam sebuah matriks dinamakan entri dalam matriks atau disebut juga elemen atau unsur.

7 Powerpoint Templates Page 7 NOTASI MATRIKS 77 7 Baris Kolom Unsur Matriks Matriks berukuran m x n atau berorde m x n

8 Powerpoint Templates Page 8 MATRIKS BARIS DAN KOLOM 88  Matriks baris adalah matriks yang hanya mempunyai satu baris  Matriks kolom adalah matriks yang hanya mempunyai satu kolom.

9 Powerpoint Templates Page 9 MATRIKS A = B 99  Dua buah matriks A dan B dikatakan sama (A = B) apabila A dan B mempunyai jumlah baris dan kolom yang sama (berordo sama) dan semua unsur yang terkandung di dalamnya sama.  a ij = b ij dimana - a ij = elemen matriks A dari baris i dan kolom j - b ij = elemen matriks B dari baris i dan kolom j  A = B dan  A ≠ B dan

10 Powerpoint Templates Page 10 PENJUMLAHAN MATRIKS 1010  Apabila A dan B merupakan dua matriks yang ukurannya sama, maka hasil penjumlahan (A + B) adalah matriks yang diperoleh dengan menambahkan bersama-sama entri yang seletak/bersesuaian dalam kedua matriks tersebut.  Matriks-matriks yang ordo/ukurannya berbeda tidak dapat ditambahkan. dan

11 Powerpoint Templates Page 11 PENJUMLAHAN MATRIKS 1111  Contoh Soal

12 Powerpoint Templates Page 12 PENGURANGAN MATRIKS 1212  A dan B adalah suatu dua matriks yang ukurannya sama, maka A-B adalah matriks yang diperoleh dengan mengurangkan bersama-sama entri yang seletak/bersesuaian dalam kedua matriks tersebut.  Matriks-matriks yang ordo/ukurannya berbeda tidak dapat dikurangkan. dan

13 Powerpoint Templates Page 13 PENGURANGAN MATRIKS 1313  Contoh :

14 Powerpoint Templates Page 14 PERKALIAN MATRIKS DENGAN SKALAR 1414  Jika k adalah suatu bilangan skalar dan matriks A=(a ij ) maka matriks kA=(ka ij ) adalah suatu matriks yang diperoleh dengan mengalikan semua elemen matriks A dengan k.  Mengalikan matriks dengan skalar dapat dituliskan di depan atau dibelakang matriks.  [C]=k[A]=[A]k

15 Powerpoint Templates Page 15 PERKALIAN MATRIKS DENGAN SKALAR 1515 Sifat-sifat perkalian matriks dengan skalar : k(B+C) = kB + kC k(B-C) = kB-kC (k 1 +k 2 )C = k 1 C + k 2 C (k 1 -k 2 )C= k 1 C – k 2 C (k 1.k 2 )C = k 1 (k 2 C)

16 Powerpoint Templates Page 16 PERKALIAN MATRIKS DENGAN SKALAR 1616 Contoh : dengan k = 2, maka K(A+B) = 2(A+B) = 2A+2B TERBUKTI

17 Powerpoint Templates Page 17 PERKALIAN MATRIKS DENGAN SKALAR 1717 Contoh : dengan k1 = 2 dan k2 = 3, maka (k1+k2)C = k1.C + k2.C TERBUKTI

18 Powerpoint Templates Page 18 PERKALIAN MATRIKS 1818  Perkalian matriks dengan matriks pada umumnya tidak bersifat komutatif.  Syarat perkalian adalah jumlah banyaknya kolom pertama matriks sama dengan jumlah banyaknya baris matriks kedua.  Jika matriks A berukuran mxn dan matriks B berukuran nxp maka hasil dari perkalian A*B adalah suatu matriks C=(c ij ) berukuran mxp dimana

19 Powerpoint Templates Page 19 PERKALIAN MATRIKS 1919  Contoh :

20 Powerpoint Templates Page 20 PERKALIAN MATRIKS 2020  Apabila A merupakan suatu matriks persegi, maka A² = A.A ; A³=A².A dan seterusnya  Apabila AB = BC maka tidak dapat disimpulkan bahwa A=C (tidak berlaku sifat penghapusan)  Apabila AB = AC belum tentu B = C  Apabila AB = 0 maka tidak dapat disimpulkan bahwa A=0 atau B=0  Terdapat beberapa hukum perkalian matriks : 1.A(BC) = (AB)C 2.A(B+C) = AB+AC 3.(B+C)A = BA+CA 4.A(B-C)=AB-AC 5.(B-C)A = BA-CA 6.A(BC) = (AB)C= B(AC) 7.AI = IA = A

21 Powerpoint Templates Page 21 PERPANGKATAN MATRIKS 2121 Sifat perpangkatan pada matriks sama seperti sifat perpangkatan pada bilangan-bilangan untuk setiap a bilangan riil, dimana berlaku : A 2 = A A A 3 = A 2 A A 4 = A 3 A A 5 = A 4 A; dan seterusnya

22 Powerpoint Templates Page 22 PERPANGKATAN MATRIKS 2222 Tentukan hasil A² dan A³

23 Powerpoint Templates Page 23 PERPANGKATAN MATRIKS 2323 Tentukan hasil 2A² + 3A³

24 Powerpoint Templates Page 24 JENIS –JENIS MATRIKS 2424  Matriks bujursangkar (persegi) adalah matriks yang berukuran n x n  Matriks nol adalah matriks yang setiap entri atau elemennya adalah bilangan nol Sifat-sifat dari matriks nol : -A+0=A, jika ukuran matriks A = ukuran matriks 0 -A*0=0, begitu juga 0*A=0.

25 Powerpoint Templates Page 25 JENIS –JENIS MATRIKS 2525  Matriks Diagonal adalah matriks persegi yang semua elemen diatas dan dibawah diagonalnya adalah nol. Dinotasikan sebagai D. Contoh :  Matriks Skalar adalah matriks diagonal yang semua elemen pada diagonalnya sama

26 Powerpoint Templates Page 26 JENIS –JENIS MATRIKS 2626  Matriks Identitas adalah matriks skalar yang elemen-elemen pada diagonal utamanya bernilai 1. Sifat-sifat matriks identitas : A*I=A I*A=A  Matriks Segitiga Atas adalah matriks persegi yang elemen di bawah diagonal utamanya bernilai nol  Matriks Segitiga Bawah adalah matriks persegi yang elemen di atas diagonal utamanya bernilai nol

27 Powerpoint Templates Page 27 DETERMINAN MATRIKS 2727  Setiap matriks persegi atau bujur sangkar memiliki nilai determinan  Nilai determinan dari suatu matriks merupakan suatu skalar.  Jika nilai determinan suatu matriks sama dengan nol, maka matriks tersebut disebut matriks singular.

28 Powerpoint Templates Page 28 NOTASI DETERMINAN 2828  Misalkan matriks A merupakan sebuah matriks bujur sangkar  Fungsi determinan dinyatakan oleh det (A)  Jumlah det(A) disebut determinan A  det(A) sering dinotasikan |A|

29 Powerpoint Templates Page 29 NOTASI DETERMINAN 2929  Pada matriks 2x2 cara menghitung nilai determinannya adalah :  Contoh :

30 Powerpoint Templates Page 30 METODE SARRUS 3030  Pada matriks 3x3 cara menghitung nilai determinannya adalah menggunakan Metode Sarrus  Metode Sarrus hanya untuk matrix berdimensi 3x3

31 Powerpoint Templates Page 31 METODE SARRUS 3131  Contoh :  Nilai Determinan dicari menggunakan metode Sarrus det(A) = (-2·1 ·-1) + (2 ·3 ·2) + (-3 ·-1 ·0) – (-3 ·1 ·2) –(-2 ·3 ·0)-(2 ·-1 ·-1) = = 18

32 Powerpoint Templates Page 32 MINOR 3232  Yang dimaksud dengan MINOR unsur a ij adalah determinan yang berasal dari determinan orde ke-n tadi dikurangi dengan baris ke-i dan kolom ke-j.  Dinotasikan dengan M ij  Contoh Minor dari elemen a ₁₁

33 Powerpoint Templates Page 33 MINOR 3333  Minor-minor dari Matrik A (ordo 3x3)

34 Powerpoint Templates Page 34 KOFAKTOR MATRIKS 3434  Kofaktor dari baris ke-i dan kolom ke-j dituliskan dengan  Contoh : Kofaktor dari elemen a 23

35 Powerpoint Templates Page 35 TEOREMA LAPLACE 3535  Determinan dari suatu matriks sama dengan jumlah perkalian elemen-elemen dari sembarang baris atau kolom dengan kofaktor-kofaktornya

36 Powerpoint Templates Page 36 TEOREMA LAPLACE 3636 Determinan dengan Ekspansi Kofaktor Pada Baris  Misalkan ada sebuah matriks A berordo 3x3  Determinan Matriks A dengan metode ekspansi kofaktor baris pertama |A|

37 Powerpoint Templates Page 37 TEOREMA LAPLACE 3737  Determinan Matriks A dengan metode ekspansi kofaktor baris kedua |A|  Determinan Matriks A dengan metode ekspansi kofaktor baris ketiga |A|

38 Powerpoint Templates Page 38 TEOREMA LAPLACE 3838 Determinan dengan Ekspansi Kofaktor Pada Kolom  Misalkan ada sebuah matriks A berordo 3x3  Determinan Matriks A dengan metode ekspansi kofaktor kolom pertama |A|

39 Powerpoint Templates Page 39 TEOREMA LAPLACE 3939  Determinan Matriks A dengan metode ekspansi kofaktor kolom kedua |A|  Determinan Matriks A dengan metode ekspansi kofaktor kolom ketiga |A|

40 Powerpoint Templates Page 40 DET MATRIKS SEGITIGA 4040  Jika A adalah matriks segitiga bujur sangkar berupa segitiga atas atau segitiga bawah maka nilai det(A) adalah hasil kali diagonal matriks tersebut  Contoh

41 Powerpoint Templates Page 41 TRANSPOSE MATRIKS 4141  Jika A adalah suatu matriks m x n, maka tranpose A dinyatakan oleh A dan didefinisikan dengan matriks n x m yang kolom pertamanya adalah baris pertama dari A, kolom keduanya adalah baris kedua dari A, demikian juga dengan kolom ketiga adalah baris ketiga dari A dan seterusnya.  Contoh : matriks A :berordo 2 x 3 transposenya : berordo 3 x 2

42 Powerpoint Templates Page 42 TRANSPOSE MATRIKS 4242 Beberapa Sifat Matriks Transpose :

43 Powerpoint Templates Page 43 TRANSPOSE MATRIKS 4343 Pembuktian aturan no1 : TERBUKTI

44 Powerpoint Templates Page 44 TRANSPOSE MATRIKS 4444 Pembuktian aturan no 2 : TERBUKTI

45 Powerpoint Templates Page 45 MATRIKS SIMETRI 4545 Sebuah matriks dikatakan simetri apabila hasil dari transpose matriks A sama dengan matriks A itu sendiri. Contoh : 1.2.

46 Powerpoint Templates Page 46 INVERS MATRIKS 4646  Matriks invers dari suatu matriks A adalah matriks B yang apabila dikalikan dengan matriks A memberikan satuan I  AB = I  Notasi matriks invers :  Sebuah matriks yang dikalikan matriks inversenya akan menghasilkan matrik satuan  Jika Maka

47 Powerpoint Templates Page 47 INVERS MATRIX 4747  Langkah-langkah untuk mencari invers matriks M yang berordo 3x3 adalah : -Cari determinan dari M -Transpose matriks M sehingga menjadi -Cari adjoin matriks -Gunakan rumus

48 Powerpoint Templates Page 48 INVERS MATRIX 4848  Contoh Soal : - Cari Determinannya : det(M) = 1(0-24)-2(0-20)+3(0-5) = 1 - Transpose matriks M

49 Powerpoint Templates Page 49 INVERS MATRIX Temukan matriks kofaktor dengan menghitung minor- minor matriksnya - Hasilnya : ==>

50 Powerpoint Templates Page 50 INVERS MATRIX 5050  Hasil Adjoinnya :  Hasil akhir

51 Powerpoint Templates Page 51 Melakukan operasi perkalian dan pertukaran pada baris-baris di dalam matriks Contoh: 1. O ij (I) = E ij  2. O i(λ) (I) = E i(λ≠0)  3. O ij(λ) (I) = E ij(λ≠0)  OPERASI BARIS ELEMENTER (OBE) Baris 1 ditukar dengan baris 3 Baris 2 dikalikan -2 Baris 1 ditambah dengan -2 kali baris 3

52 Powerpoint Templates Page 52 Suatu matriks berukuran n x n dikatakan matriks elementer jika matriks tersebut dapat diperoleh dari matriks identitas In dengan melakukan operasi baris elementer tunggal (hanya melakukan operasi baris elementers sebanyak 1 kali) MATRIKS ELEMENTER

53 Powerpoint Templates Page 53 CONTOH MATRIKS ELEMENTER

54 Powerpoint Templates Page 54 E ij. E ij = I Jika matriks A dikenakan operasi OBE padanya, ternyata nilainya sama dengan matriks elementer yang berkaitan dengan OBE tersebut dikalikan dengan matriks A O ij (A) = E ij. A O i(λ) (A) = E i(λ≠0). A O ij(λ) (A) = E ij(λ≠0). A SIFAT MATRIKS ELEMENTER

55 Powerpoint Templates Page 55 O 12 (A) = E 12. A CONTOH

56 Powerpoint Templates Page 56 Cara I : menggunakan OBE (A | I)  OBE  (I | A -1 ) MENCARI A -1 Menambahkan -2 kali baris pertama pada baris kedua dan -1 kali baris pertama pada baris ketiga

57 Powerpoint Templates Page 57 MENCARI A -1 Menambahkan 2 kali baris kedua pada baris ketiga Mengalikan baris ketiga dengan -1 Menambahkan 3 kali baris ketiga pada baris kedua dan -3 kali baris ketiga pada baris pertama Menambahkan -2 kali baris kedua pada baris pertama

58 Powerpoint Templates Page 58 MENCARI A -1

59 Powerpoint Templates Page 59 Carilah invers dari matriks berikut dengan menggunakan OBE: SOAL

60 Powerpoint Templates Page 60 REFERENSI Discrete Mathematics and its Applications; Kenneth H. Rosen; McGraw Hill; sixth edition;


Download ppt "Powerpoint Templates Page 1 MATRIKS. Powerpoint Templates Page 2 DAFTAR SLIDE Operasi Matriks Jenis-Jenis Matriks Determinan Matriks 22 Inverse Matriks."

Presentasi serupa


Iklan oleh Google