Presentasi sedang didownload. Silahkan tunggu

Presentasi sedang didownload. Silahkan tunggu

1 HAMPIRAN NUMERIK SOLUSI PERSAMAAN POLINOMIAL Pertemuan 4 Matakuliah: K0342 / Metode Numerik I Tahun: 2006.

Presentasi serupa


Presentasi berjudul: "1 HAMPIRAN NUMERIK SOLUSI PERSAMAAN POLINOMIAL Pertemuan 4 Matakuliah: K0342 / Metode Numerik I Tahun: 2006."— Transcript presentasi:

1 1 HAMPIRAN NUMERIK SOLUSI PERSAMAAN POLINOMIAL Pertemuan 4 Matakuliah: K0342 / Metode Numerik I Tahun: 2006

2 2 PERTEMUAN-4 HAMPIRAN NUMERIK SOLUSI PERSAMAAN POLINOMIAL

3 3 Bentuk umum persamaan polinomial: Dengan a k adalah konstanta bilangan riil dan a n  0 Persamaan polinomial termasuk pada persamaan nirlanjar Dapat diselesaikan baik dengan metoda terbuka maupun metoda tertutup tetapi kurang effisien untuk n yang besar. KENAPA? So

4 4 Menentukan akar-akar persamaan polinomial: 1. Metoda Müller Muller menggunakan pendekatan proyeksi parabola melalui tiga titik pada sumbu x sebagai pengganti proyeksi garis melalui dua titik pada sumbu x seperti pada metoda Secant Misalkan tiga titik tsb adalah: [ x 0,f(x 0 )]; [ x 1,f(x 1 )]; [ x 2,f(x 2 )] Misalkan persamaan parabola melalui tiga titik tersebut adalah: Maka: ……………..(1)

5 5 Misalkan: Disubtitusikan ke persamaan (1), diperoleh: ……………….(2)

6 6 Akar persamaan polinomial diperoleh dengan iterasi berikut: …………………..(3) Contoh:,tentukan akar persamaan Jawaban: Misalkan: x 0 = 4.5; x 1 = 5.5; x 2 = 5 f(4.5) = ; f(5.5) = ; f(5) = 48 = c h 0 = 1; h 1 = -0.5  0 = 62.25;  1 = a = 15 b = 62.25

7 7 Dengan rumus iterasi: Diperoleh:

8 8 Iterasi berikutnya adalah dengan menggunakan: X 0 = 5.5; x 1 = 5 dan x 2 = Kemudian dihitung kembali, h 0 ; h 1 ;  0 dan  1 untuk memperoleh nilai a, b dan c Hasil iterasinya adalah sbb.: nxnxn  n (%)

9 9 2. Metoda Bairstow dibagi dengan: (x 2 – rx – s ) yang menghasilkan: Dengan sisa pembagian:

10 10 Hubungan rekurensi (recurrence relationship) dengan pembagian Fungsi kuadrat diperoleh: b n = a n b n-1 = a n-1 + r b 0 b i = a i + r b i+1 + s b i+2, untuk i = (n-2), (n-3),…, 2,1,0 Untuk membuat pembagian menuju nol, maka b 0 dan b 1 harus menuju nol. b 0 dan b 1 masing-masing fungsi dari r dan s

11 11 Turunan parsial dapat ditentukan dengan cara pembagian sintetik seperti menentukan koefisien b yaitu dengan menuliskan: Sehingga: dimana: Untuk i= n – 2 sampai dengan i= 1

12 12 Contoh: Tentukan akar persamaan polinomial orde 5 berikut: Gunakan perkiraan awal r 0 = s 0 = -1 kemudian iterasikan sampai Galat relatif kurang dari 1 % Jawaban: Dari pembagian sintetik menentukan koefisien b diperoleh: b 5 = a 5 = 1; b 4 = -4.5; b 3 = 6.25; b 2 = 0.375; b 1 = dan b 0 = Dari pembagian sintetik menentukan koefisien c diperoleh: c 5 = b 5 = 1; c 4 = -5.5; c 3 = 10.75; c 2 = ; c 1 =

13 13 Maka:  r –  s =  r  s = 10.5  r = dan  s = Iterasi pertama untuk r dan s adalah: r 1 = r 0 +  r = = s 1 = s 0 +  s = =  r ( r 1 ) = | (0.3558/ | 100 % = %  s ( s 1 ) = | (1.1381/ | 100 % = % Karena galat relatif masih tinggi, perhitungan dilanjutkan dengan iterasi ke-2

14 14 Dari pembagian sintetik menentukan koefisien b diperoleh: b 5 = a 5 = 1; b 4 = ; b 3 = ; b 2 = ; b 1 = dan b 0 = Dari pembagian sintetik menentukan koefisien c diperoleh: c 5 = b 5 = 1; c 4 = ; c 3 = ; c 2 = ; c 1 = Maka:  r –  s = –  r  s =  r = dan  s = r 2 = r 1 +  r = = s 1 = s 0 +  s = = Iterasi ke dua untuk r dan s adalah:

15 15  r ( r 2 ) = | (0.1331/ | 100 % = 26.0 %  s ( s 2 ) = | (0.3316/ | 100 % = 70.6 % Karena galat relatif masih tinggi, perhitungan dilanjutkan dengan iterasi ke-3, dan seterusnya Setelah iterasi ke-4 diperoleh haga r dan s yaitu: r 4 = dengan  r ( r 4 ) = % s 4 = 0.5 dengan  s ( s 4 ) = % Jadi r = r 4 = -0.5 dan s = s 4 = 0.5 Persamaan kuadarat: (x 2 – rx – s ) = (x x – 0.5 ) adalah merupakan faktor dari f(x) Dua akar pertama dari f(x) diperoleh yaitu:

16 16 Hasil pembagian f(x) dengan (x x – 0.5 ) yaitu: Akar-akar dari f 3 (x) ini dicari dengan menggunakan r = dan s = 0.5 sebagai perkiraan awal Setelah lima iterasi diperoleh: r = 2 dan s = dan persamaan kuadrat (x 2 – rx – s ) = (x 2 - 2x ) adalah faktor dari f 3 (x) Akar ke tiga dan ke empat dari f(x) diperoleh yaitu:

17 17 Hasil pembagian f 3 (x) dengan (x 2 - 2x ) yaitu: f 1 (x) = x – 2. Jadi akar ke lima dari f(x) yaitu x 5 = 2 3. Metoda Birge-Vieta Birge-Vieta mengembangkan metoda Newton khusus untuk mencari akar-akar persamaan polinomial Rumus iterasi metoda Newton:

18 18 f(x) dan f’(x) dievaluasi dengan aturan Horner secara rekursif untuk memperoleh koefisien b seperti yang telah digunakan Bairstow sehingga diperoleh hubungan rekurensi koefisien sbb: b n = a n b i = a i + x n b i+1 Dengan i = n – 1 sampai 0 dan f(x n ) = b 0 Bila dibagi dengan (x – x n ) diperoleh fungsi g(x) orde (n – 1) dengan sisa pembagian b 0, dan f(x) = (x – x n ) g(x) + b 0 dimana:

19 19 Turunan pertama dari f(x) = (x – x n ) g(x) + b 0 yaitu: f’(x) = (x – x n ) g’(x) + g(x) f’(x n ) = g(x n ) yaitu suatu polinomial orde (n – 1) dan dapat dievaluasi dengan aturan Horner untuk memperoleh hubungan rekurensi koefisien c yaitu: c n = b n c i = b i + x n c i+1 Dengan i = n – 1 sampai 1 dan g(x n ) = c 1 Rumus iterasi Bierge-Vieta untuk persamaan polinomial:

20 20 Contoh: Tentukan akar persamaan polinomial f(x) = x 3 – x – 1 disekitar X 0 = 1.3 Dari hubungan rekurensi pembagian sintetik untuk menentukan koefisien b dan c diperoleh: iaiai b i =a i +x 0 b i+1 c i =b i +x 0 c i Jawaban:

21 21 Iterasi pertama memberikan: iaiai b i =a i +x 1 b i+1 c i =b i +x 1 c i Iterasi ke dua:

22 22 Iterasi ke dua memberikan: Iterasi ke tiga: iaiai b i =a i +x 2 b i+1 c i =b i +x 2 c i

23 23 Iterasi ke tiga memberikan:  r ( x 3 ) = | ( / )| 100 % = %

24 24 GOODGOOD LUCKLUCK


Download ppt "1 HAMPIRAN NUMERIK SOLUSI PERSAMAAN POLINOMIAL Pertemuan 4 Matakuliah: K0342 / Metode Numerik I Tahun: 2006."

Presentasi serupa


Iklan oleh Google