Pertemuan 2 Geometri sferik

Pengkajian tentang geometri segitiga siku-siku Sasaran Pengkajian tentang geometri segitiga siku-siku

Geometri segitiga siku-siku Pokok Bahasan Geometri segitiga siku-siku

Formula Pythagoras (Geometri Euklid) Segitiga ABC siku-siku bila dan hanya bila salah satu sudut A, B atau C siku-siku. Formula Pythagoras menyatakan: bila segitiga ABC siku-siku maka kuadrat salah satu sisinya sama dengan jumlah kuadrat dari dua sisi lainnya.

Formula Pythagoras (Geometri Euklid, lanjutan) Ada beberapa versi formula Pythagoras, selain formula sebelumnya, misalnya: bila segitiga ABC siku-siku di A maka kuadrat sin B ditambah kuadrat cos B sama dengan 1 atau kuadrat sin C ditambah kuadrat cos C sama dengan 1.

Formula Pythagoras (Geometri Euklid, lanjutan) Versi lain formula Pythagoras: bila segitiga ABC siku-siku di A maka kuadrat tg B ditambah 1 sama dengan kuadrat sec B atau kuadrat tg C ditambah 1 sama dengan kuadrat sec C.

Formula Pythagoras (Geometri Euklid, lanjutan) Versi lain formula Pythagoras: bila segitiga ABC siku-siku di A maka kuadrat cotg B ditambah 1 sama dengan kuadrat cosec B atau kuadrat cotg C ditambah 1 sama dengan kuadrat cosec C.

Teorema 2.1 (Teorema Pythagoras untuk Geometri Sferik) Misalkan segitiga ABC siku-siku pada bola satuan dengan sudut siku-siku di C. Sebagai biasanya, a, b, dan c berturut-turut panjang sisi-sisi di depan A, B, C. Maka berlaku: cos c = cos a cos b. Perhitungan tersebut menggunakan radial.

Bukti formula Pythagoras (Geometri Sferik) Garis besar buktinya menggunakan langkah- langkah: 1. Vektor A = (sin b, 0, cos b), vektor B = (0, sin a, cos a). 2. Hasilkali skalar dua vektor tersebut adalah panjang vektor A kali panjang vektor B kali cos sudut antaranya. 3. Disimpulkan cos c = cos a cos b.

Teorema 2.2 Misalkan segitiga ABC segitiga siku-siku pada bola satuan dengan sudut siku-siku di C. Maka berlaku: sin A = sin a / sin c cos A = cos a sin b / sin c.

Bukti teorema: Garis besar buktinya menggunakan langkah-langkah: 1. Hasilkali vektor dari vektor A dengan vektor B adalah (- cos b sin a, - sin b cos a, sin b sin a). 2. Sudut A adalah sudut antara (0, -1, 0) dan hasil kali vektor di atas. 3. Dengan hasilkali skalar didapat cos A = cos a sin b / sin c. 4. Dengan hasilkali vektor didapat sin A = sin a / sin c.

Catatan 1.Teorema Pythagoras dalam Geometri Euklid berlaku juga pada Geometri Sferik (Teorema 2.1) 2. Teorema 2.2 juga berlaku pada Geometri Euklid.