BAHAN AJAR TEORI BILANGAN

Presentasi berjudul: "BAHAN AJAR TEORI BILANGAN"— Transcript presentasi:

1 BAHAN AJAR TEORI BILANGAN
POKOK BAHASAN TUJUAN MATERI ILLUSTRASI LATIHAN SELESAI

2 BAHAN AJAR TEORI BILANGAN Pertemuan Ke-6 : Algoritma Euclid
POKOK BAHASAN Pertemuan Ke-6 : Algoritma Euclid TUJUAN MATERI ILLUSTRASI Oleh : Dr. Kusnandi, M.Si. LATIHAN SELESAI

3 BAHAN AJAR TEORI BILANGAN
POKOK BAHASAN Tujuan Pembelajaran TUJUAN Mahasiswa dapat memahami konsep Algoritma Euclid dan menerapkannya dalam permasalahan matematika yang relevan MATERI ILLUSTRASI LATIHAN SELESAI

4 BAHAN AJAR TEORI BILANGAN
Algoritma Euclid POKOK BAHASAN Kita akan mencari fpb(90, 78) dengan tanpa mendaftar faktor- faktornya. TUJUAN Langkah 1: Terapkan Algoritma Pembagian pada 90 dan 78 90 = ≤ r < 78 MATERI Langkah 2: Terapkan Algoritma Pembagian pada 78 dan 12 ILLUSTRASI 78 = ≤ r < 12 Langkah 3: Terapkan Algoritma Pembagian pada 12 dan 6 LATIHAN 12 = ≤ r < 6 Kita dapat memperoleh bahwa fpb(90, 78) = 6 SELESAI Lakukan langkah di atas pada bilangan dan 528

5 BAHAN AJAR TEORI BILANGAN
Algoritma Euclid POKOK BAHASAN Lemma : Jika a = qb + r, maka fpb(a, b) = fpb(b, r). TUJUAN Pembuktian Misalkan fpb(a, b) = d. Adb fpb(b, r) = d (a) Karena fpb(a, b) = d, maka d|a dan d| b. Dari sini kita memperoleh d | a dan d|qb. Sehingga d|(a – qb) atau d|r Dengan demikian, d|b dan d|r (1) MATERI ILUSTRASI (b) Misalkan c|b dan c|r. Dari sini kita memperoleh c|qb. Sehingga c|(qb + r) atau c|a. Karena fpb(a, b) = d, maka untuk c|a dan c|b akan diperoleh c ≤ d. Jadi, jika c|b dan c|r maka c ≤ d (2) LATIHAN SELESAI Dari (1) dan (2) disimpulkan bahwa fpb(b, r) = d = fpb(a, b)

6 BAHAN AJAR TEORI BILANGAN
Algoritma Euclid POKOK BAHASAN Kita akan mencari fpb(a, b) dengan tanpa mendaftar faktor- faktornya. TUJUAN Langkah 1: Terapkan Algoritma Pembagian pada a dan b a = q1 . b + r ≤ r1 < b MATERI Langkah 2: Terapkan Algoritma Pembagian pada b dan r1 b = q2 .r1 + r ≤ r2 < r1 ILLUSTRASI Langkah 3: Terapkan Algoritma Pembagian pada r1 dan r2 r1 = q3 .r2 + r ≤ r3 < r2 LATIHAN Langkah n+1: Terapkan Algoritma Pembagian pada rn dan rn-1 rn-1 = q3 .rn ≤ rn+1 < rn SELESAI fpb(a, b) = fpb(b, r1) = = fpb(rn-1 , rn ) = fpb(rn , 0) = rn

7 BAHAN AJAR TEORI BILANGAN
Algoritma Euclid POKOK BAHASAN Ilustrasi 1 : Carilah bilangan bulat x dan y sehingga fpb(90, 78) = 90x + 78y TUJUAN Pembahasan 90 = 78 = 12 = 2 . 6 MATERI ILLUSTRASI fpb(90, 78) = 6 = 78 – = 78 – 6. (90 – 1.78) LATIHAN = 7.78 – 6.90 = 90 (–6) + 78(7) SELESAI Jadi, nilai x = -6 dan y = 7

8 BAHAN AJAR TEORI BILANGAN
Algoritma Euclid POKOK BAHASAN Illustrasi 2: Carilah fpb(1769, 2378). Kemudian carilah bilangan bulat x dan y sehingga fpb(1769, 2378) = 1769x y TUJUAN MATERI Pembahasan 2378 = = 551 – 9.58 1769 = = 551 – 9.(609 – 1.551) 609 = = – 9.609 551 = = 10.(1769 – 2.609) – 9.609 58 = = – Jadi, fpb (1769, 2378) = = – 29.(2378 – ) = 1769(39) (–29) Jadi nilai x = 39 dan y = –29 ILLUSTRASI LATIHAN SELESAI

9 BAHAN AJAR TEORI BILANGAN
Latihan 1 POKOK BAHASAN Misalkan a, b bilangan bulat yang keduanya tidak sama dengan nol, dan k > 0. Tunjukkan bahwa fpb(ka, kb) = k fpb(a, b) 2. Misalkan a, b bilangan bulat yang keduanya tidak sama dengan nol, dan k ≠ 0. Tunjukkan bahwa fpb(ka, kb) = |k| fpb(a, b) 3. Carilah bilangan bulat x dan y sehingga a. fpb(306, 657) = 306x + 657y b. fpb(272, 1479) = 272x y c. fpb(12378, 3054) = 12378x y Misalkan fpb(a, b) = 1, buktikan pernyataan berikut ini: a. fpb(a + b, a – b) = 1 atau 2 b. fpb(2a + b, a + 2b) = 1 atau 3 c. fpb(a + b, ab) = 1 TUJUAN MATERI ILLUSTRASI LATIHAN SELESAI

10 BAHAN AJAR TEORI BILANGAN
Latihan 2 POKOK BAHASAN 5. Misalkan a, b, c bilangan bulat yang dua diantaranya tidak sama dengan nol. Kita akan memperoleh bahwa fpb(a, b, c) = fpb(fpb(a, b), c) = fpb(a, fpb(b, c)) = fpb(fpb(a, c), b) a. Periksa kebenaran pernyataan itu untuk fpb(108, 60, 72) b. Carilah bilangan bulat x, y, dan z yang memenuhi fpb(198, 288, 512) = 198x + 288y + 512 Petunjuk: Misalkan d = fpb(198, 288). Carilah bilangan bulat u dan v sehingga fpb(d, 512) = du + 512v TUJUAN MATERI ILLUSTRASI LATIHAN SELESAI

11 BAHAN AJAR TEORI BILANGAN
POKOK BAHASAN TUJUAN MATERI Terima kasih ILLUSTRASI LATIHAN SELESAI