Presentasi sedang didownload. Silahkan tunggu

Presentasi sedang didownload. Silahkan tunggu

Departemen Matematika IPB 1 6.1 FUNGSI Fungsi muncul bilamana suatu besaran bergantung pada besaran lain. Contoh: 1. Populasi manusia P bergantung pada.

Presentasi serupa


Presentasi berjudul: "Departemen Matematika IPB 1 6.1 FUNGSI Fungsi muncul bilamana suatu besaran bergantung pada besaran lain. Contoh: 1. Populasi manusia P bergantung pada."— Transcript presentasi:

1 Departemen Matematika IPB FUNGSI Fungsi muncul bilamana suatu besaran bergantung pada besaran lain. Contoh: 1. Populasi manusia P bergantung pada waktu t 2. Biaya pengiriman surat B bergantung pada berat w. 3. Luas lingkaran L bergantung pada panjang jari-jari r Definisi: [Fungsi] Misalkan A dan B adalah dua himpunan. Fungsi f adalah suatu aturan yang memadankan setiap elemen x  A dengan tepat satu elemen y = f(x)  B. BA y = f(x) x Notasi: f : A →B Catatan: 1. Dalam kalkulus biasanya A, B   2. Aturan pemadanan fungsi: y = f(x) x peubah bebas y peubah tak bebas, bergantung pada x f BAB 6. FUNGSI DAN MODEL

2 Departemen Matematika IPB 2 3. Daerah asal fungsi: D f = A = {x | fungsi f terdefinisi} 4. Daerah hasil fungsi: W f = {y  B | y = f(x), x  D f } 5. Grafik fungsi: {(x,y) | x  D f, y = f(x)) } x y y = f(x) DfDf WfWf x y Contoh: Sketsa grafik fungsi berikut, kemudian tentukan daerah asal dan daerah hasilnya. a. y = 2x + 1 b. y = x Uji garis tegak Kurva di bidang-xy merupakan grafik suatu fungsi jika dan hanya jika tidak terdapat garis tegak yang memotong kurva lebih dari sekali. x y x y fungsi bukan fungsi

3 Departemen Matematika IPB 3 Contoh: Sketsa grafik pesamaan berikut. Menggunakan uji garis tegak periksa apakah grafik tersebut merupakan grafik suatu fungsi Contoh: 1. Secara verbal Biaya pengiriman surat tercatat seberat w ons adalah B(w). Aturan yang digunakan Kantor Pos adalah sebagai berikut. Biaya pengiriman adalah Rp 1.000,00 untuk berat sampai satu ons, ditambah Rp 250,00 untuk setiap ons tambahan sampai 5 ons. 2. Secara numerik Biaya pengiriman surat tercatat ditunjukkan tabel berikut. Penyajian fungsi ·Secara verbal :dengan uraian kata-kata. ·Secara numerik :dengan tabel ·Secara visual :dengan grafik ·Secara aljabar :dengan aturan/rumusan eksplisit Berat w (ons)Biaya B(w) (rupiah) 0 < w  < w  < w  < w  < w 

4 Departemen Matematika IPB 4 3. Secara visual Biaya pengiriman surat tercatat ditunjukkan grafik berikut w B Ons RupiahRupiah 4. Secara aljabar Biaya pengiriman surat tercatat dinyatakan oleh fungsi berikut. Latihan: berikan contoh fungsi yang disajikan secara: a. verbal b. numerik c. visual d. aljabar

5 Departemen Matematika IPB JENIS-JENIS FUNGSI 1. Fungsi linear  Aturan fungsi: y = f(x) = ax + b, a dan b konstanta a = kemiringan garis b = perpotongan garis dengan sumbu-y  Daerah asal dan daerah hasil: D f = , W f =   Grafik: y x b y = ax + b 2. Polinom  Aturan fungsi: y = P(x) = a n x n + a n-1 x n-1 + … + a 2 x 2 + a 1 x + a 0 a n, …, a 1, a 0 konstanta, (a n  0), n = derajat polinom  Daerah asal: D f =   Grafik: Polinom derajat 2: y = P(x) = ax 2 + bx + c, D = b 2 - 4ac x y c a 0 a < 0, D = 0a < 0, D < 0 y = P(x) y c y c x x

6 Departemen Matematika IPB 6 3. Fungsi pangkat  Aturan fungsi: y = f(x) = x n, n    Daerah asal: D f =   Grafik: x y c a > 0, D > 0 a > 0, D = 0a > 0, D < 0 y = P(x) y c y c x x y y = x y y = x xx y y = x 3 0 x 4. Fungsi akar  Aturan fungsi:  Daerah asal dan daerah hasil: D f = [0,  ), W f = [0,  ), jika n genap D f = , W f = , jika n ganjil  Contoh: Tentukan daerah asal dan daerah hasil dari fungsi berikut. a. y = x 2 + 2x - 1 b. y = -2x 2 + 2x - 4

7 Departemen Matematika IPB 7 5. Fungsi kebalikan  Aturan fungsi:  Daerah asal dan daerah hasil: D f =  - {0}, W f =  - {0}  Grafik: y 0 x 6. Fungsi rasional  Aturan fungsi: P dan Q adalah fungsi polinom  Daerah asal: D f =  - { x | Q(x) = 0 } y 0 x y 0 x  Grafik:  Contoh: Tentukan daerah asal dan daerah hasil dari fungsi berikut

8 Departemen Matematika IPB 8  Contoh: Tentukan daerah asal dari fungsi rasional berikut 7. Fungsi aljabar  Definisi: [Fungsi aljabar] Fungsi f disebut fungsi aljabar jika fungsi tersebut dapat dibuat dengan menggunakan operasi aljabar, yaitu: penambahan, pengurangan, perkalian, pembagian dan penarikan akar, yang dimulai dengan polinom.  Contoh:  Catatan: Fungsi linear, polinom, fungsi pangkat, fungsi akar, fungsi balikan dan fungsi rasional adalah fungsi aljabar. 8. Fungsi trigonometri 8.1 Fungsi sinus  Aturan fungsi: y = f(x) = sin x, x dalam radian  Daerah asal dan daerah hasil: D f = , W f = [-1,1]

9 Departemen Matematika IPB 9  Grafik: 0  22 -  -2-2 1 x y y = sin x 8.2 Fungsi cosinus  Aturan fungsi: y = f(x) = cos x, x dalam radian  Daerah asal dan daerah hasil: D f = , W f = [-1,1]  Grafik: 0  22 -  -2-2 1 y y = cos x x 8.3 Fungsi tangen  Aturan fungsi:  Daerah asal dan daerah hasil: D f =  - {  /2 + n  | n  } W f = 

10 Departemen Matematika IPB 10  Grafik: 0-2-2 -- 1 x y y = tan x  22 8.4 Fungsi trigonometri lainnya  Aturan fungsi: 8.5 Beberapa sifat fungsi trigonometri a. -1  sin x  1 b. -1  cos x  1 c. sin x = sin (x + 2  ) d. cos x = cos (x + 2  ) e. tan x = tan (x +  )

11 Departemen Matematika IPB 11  Grafik: x y y = a x, a > 1 x y y = a x, 0 < a < Fungsi logaritma  Aturan fungsi: y = f(x) = log a x, a > 0  Daerah asal dan daerah hasil: D f = (0,  ), W f =   Grafik: y y = log a x, a > 1 x 9. Fungsi eksponensial  Aturan fungsi: y = f(x) = a x, a > 0  Daerah asal dan daerah hasil: D f = , W f = (0,  ) y y = log a x, 0 < a < 1 x

12 Departemen Matematika IPB 12  Contoh: Golongkan fungsi-fungsi berikut berdasarkan jenisnya. 11. Fungsi transenden  Definisi: [Fungsi transenden] Fungsi transenden adalah fungsi yang bukan fungsi aljabar. Himpunan fungsi transenden mencakup fungsi trigonometri, invers trigonometri, eksponensial dan logaritma. 12. Fungsi yang terdefinisi secara sepotong-sepotong (piecewise function)  Definisi: [Fungsi yang terdefinisi secara sepotong- sepotong] Fungsi yang terdefinisi secara sepotong-sepotong adalah fungsi dengan banyak aturan, dimana setiap aturan berlaku pada bagian tertentu dari daerah asal.  Contoh: y y = |x| x

13 Departemen Matematika IPB 13 y 0 1 y = f(x) x 2 3. Definisikan untuk setiap bilangan real x:  x  = bilangan bulat terbesar yang lebih kecil atau sama dengan x. f(x) =  x  = x y 4 y = f(x)  Catatan: 1. f(x) = |x|, f disebut fungsi nilai mutlak 2. f(x) =  x , f disebut fungsi bilangan bulat terbesar 13. Fungsi genap dan fungsi ganjil  Definisi: [Fungsi genap] Jika fungsi f memenuhi f(-x) = f(x) untuk setiap x di dalam daerah asalnya, maka f disebut fungsi genap. x y f(x)f(x) -x x y = f(x)

14 Departemen Matematika IPB 14  Definisi: [Fungsi ganjil] Jika fungsi f memenuhi f(-x) = -f(x) untuk setiap x di dalam daerah asalnya, maka f disebut fungsi ganjil.  Catatan: Grafik fungsi ganjil simetri terhadap titik asal. x y f(x)f(x) -x x y = f(x) -f(x)  Catatan: Grafik fungsi genap simetri terhadap sumbu-y.  Contoh: Periksa apakah fungsi berikut adalah fungsi genap atau fungsi ganjil atau bukan kedua-duanya. a. f(x) = 1 - x 4 b. f(x) = x + sin x c. f(x) = x 2 + cos x d. f(x) = 2x - x Fungsi naik dan fungsi turun  Definisi: 1. Fungsi f disebut naik pada selang I jika f(x 1 ) < f(x 2 ) untuk setiap x 1 < x 2 di I. 2. Fungsi f disebut turun pada selang I jika f(x 1 ) > f(x 2 ) untuk setiap x 1 < x 2 di I.

15 Departemen Matematika IPB 15 x1x1 y f(x1)f(x1) x y = f(x) x2x2 f(x2)f(x2) Fungsi f naik x1x1 y f(x2)f(x2) x y = f(x) x2x2 f(x1)f(x1) Fungsi f turun  Contoh: Periksa apakah fungsi f berikut adalah fungsi naik atau fungsi turun pada selang I. a. f(x) = x 2 I = [0,  ) b. f(x) = sin x I = [ ,2  ] 6.3 FUNGSI BARU DARI FUNGSI LAMA Dari fungsi dasar dapat dibentuk fungsi baru dengan cara: 1. Transformasi fungsi: pergeseran, peregangan dan pencerminan 2. Operasi aljabar fungsi: penambahan, pengurangan, perkalian & pembagian 3. Komposisi fungsi Transformasi fungsi  Pergeseran (translasi) Misalkan c > 0. Untuk memperoleh grafik: 1. y = f(x) + c, geser grafik y = f(x) sejauh c satuan ke atas

16 Departemen Matematika IPB y = f(x) - c, geser grafik y = f(x) sejauh c satuan ke bawah 3. y = f(x - c), geser grafik y = f(x) sejauh c satuan ke kanan 4. y = f(x + c), geser grafik y = f(x) sejauh c satuan ke kiri y = f(x) c y x c c c y = f(x-c) y = f(x+c) y = f(x) - c y = f(x) + c  Peregangan (dilatasi) Misalkan c > 1. Untuk memperoleh grafik: 1. y = cf(x), regangkan grafik y = f(x) secara tegak dengan faktor c. 2. y = (1/c)f(x), mampatkan grafik y = f(x) secara tegak dengan faktor c. 3. y = f(cx), mampatkan grafik y = f(x) secara mendatar dengan faktor c. 4. y = f(x/c), regangkan grafik y = f(x) secara medatar dengan faktor c.

17 Departemen Matematika IPB 17 0  22 1 y y = cos x 2 -2 y = 2 cos x y = ½ cos x x 0  22 1 y y = cos x 2 -2 x y = cos ½ x y = cos 2x  Pencerminan Untuk memperoleh grafik: 1. y = -f(x), cerminkan grafik y = f(x) thd sumbu-x 2. y = f(-x), cerminkan grafik y = f(x) thd sumbu-y y x y = f(x) y = -f(x) x y = f(x) y = f(-x) y x-xx f(x)f(x) f(x)f(x) -f(x)  Contoh: Gambarkan grafik fungsi berikut dengan menggunakan sifat transformasi fungsi. 1. f(x)= |x-1| 2. f(x) = x 2 +2x+1 3. f(x)= sin 2x 4. f(x) = 1 - cos x

18 Departemen Matematika IPB 18 Operasi aljabar fungsi  Definisi: [Aljabar fungsi] Misalkan f dan g adalah fungsi dengan daerah asal D f dan D g. Fungsi f+g, f-g, fg dan f/g didefinisikan sebagai berikut 1. (f + g)(x) = f(x) + g(x) D f+g = D f  D g. 2. (f - g)(x) = f(x) - g(x) D f-g = D f  D g. 3. (fg)(x) = f(x) g(x) D fg = D f  D g. 4. (f/g)(x) = f(x)/g(x) D f/g = {D f  D g.} – {x | g(x)= 0}  Contoh: Tentukan f+g, f-g, fg dan f/g beserta daerah asalnya, jika Komposisi fungsi  Definisi: [Komposisi fungsi] Misalkan f dan g adalah fungsi dengan daerah asal D f dan D g. Fungsi komposisi f  g didefinisikan sebagai berikut: (f  g)(x) = f(g(x)) di mana D f  g = {x  D g | g(x)  D f } DfDf g f WfWf WgWg DgDg x g(a) f(g(x)) a g(x)g(x) f  g

19 Departemen Matematika IPB 19  Contoh: Tentukan f  g, g  f dan f  f beserta daerah asalnya, jika 6.4 MODEL MATEMATIKA Model matematika: adalah uraian secara matematika (sering kali menggunakan fungsi atau persamaan) dari fenomena dunia nyata. Tujuan: memahami suatu fenomena dan mungkin membuat prakiraan tentang perilakunya di masa depan. Proses pemodelan: Permasalahan dunia nyata Rumuskan Pecahkan Tafsirkan Uji Model matematika Kesimpulan matematika Prakiraan dunia nyata

20 Departemen Matematika IPB 20 Contoh:  Rata-rata tingkat karbon dioksida di atmosfer, diukur dalam ppm (parts per million) di Mauna Loa Observatori dari 1972 s/d 1990 ditunjukkan oleh tabel berikut. TahunTingkat CO 2 (ppm) , , , , , , , , , ,0 t C Grafik rata-rata tingkat CO 2 C = 1, t – 2624,  Perkiraan tingkat CO 2 pada tahun 2005: C(2005) = (1,496667)(2005) – 2624,  375,99 ppm  Data hampir menyerupai garis lurus model linear  Metode kuadrat terkecil persamaan garis


Download ppt "Departemen Matematika IPB 1 6.1 FUNGSI Fungsi muncul bilamana suatu besaran bergantung pada besaran lain. Contoh: 1. Populasi manusia P bergantung pada."

Presentasi serupa


Iklan oleh Google