Deret taylor dan mac laurin fungsi dua perubah

Presentasi berjudul: "Deret taylor dan mac laurin fungsi dua perubah"— Transcript presentasi:

1 Deret taylor dan mac laurin fungsi dua perubah
Yulvi zaika

2 Deret taylor untuk satu variable bebas
Deret Pangkat: ao + a1(x-h)+ a2 (x-h)2+ a3 (x-h)3………an(x-h)n …… Suatu fungsi yang didefenisikan sebagai deret pangkat f(x)=ao + a1(x-h)+ a2 (x-h)2+ a3 (x-h)3………an(x-h)n …… Deret Taylor untuk delta (kenaikan) yang kecil f(x)=f(h) + f(b)’(x-h)+ f(h)’’ (x-h)2+ f(h)’’’ (x-h)3……… f(b)n(x-h)n …… 2! ! n! Bila h=0 maka deret menjadi deret Maclaurin f(x)=f(0) + f(0)’(x)+ f(0)’’ (x)2+ f(0)’’’ (x)3……… f(0)n(x)n …… 2! ! n! (354)

3 Derter taylor untuk dua variable bebas
Jika z=f(x,y); kenaikan terjadi arah x dan y maka Z+z=(x+h, y+k); dimana h = keneikan arah x dan k = kenaikan arah y Untuk R fx(x,y) = df(x,y)/dx dan fxx(x,y)=d2f(x,y)/dx2 Dari R ke Q maka (x+h) konstan : y berubah (y+k) (1) (2)

4 continue Untuk mendapatkan formulasi kenaikan pada y dari persamaan kenaikan terhadap x yaitu f(x+h,y) maka dapat dilakukan dengan menurunkan persamaannya. Turunan ke dua terhadap y Persamaan (2) menjadi

5 Teorema taylor untuk 2 variable bebas
Bila persamaan yang diambil hanya sampai turunan kedua maka akan menjadi Jika z=f(x,y); h=dx dan k=dy maka teorema taylor dapat ditulis Bila z dipindahkan ke kiri maka Karena dx dan dy kenaikan yang kecil sehingga turunan berikutnya akan menjadi lebih kecil sehingga bias diabaikan, maka persamaannya akan menjadi

6 continue Dapat digambarkan sbg berikut

7 Contoh soal Jari – jari kerucut meningkat dengan kecepatan perubahan sebesar 1.5 mm/s dan tingginya meningkat sebesar 6.0 mm/s. Tentukan peningkatan perubahan volumenya saat r= 12mm dan h=24mm Solusi: V= 𝜋 𝑟 2 ℎ 3 ; 𝑑𝑉 𝑑𝑡 = 𝑑𝑉 𝑑𝑟 𝑑𝑟 𝑑𝑡 + 𝑑𝑉 𝑑ℎ 𝑑ℎ 𝑑𝑡 = 2𝜋𝑟ℎ 3 𝑑𝑟 𝑑𝑡 + 𝜋 𝑟 𝑑ℎ 𝑑𝑡 dr/dt=1.5mm/s dan dh/dt=6.0 mm/s maka 𝑑𝑉 𝑑𝑡 =288𝜋−288𝜋=0 Tidak terjadi perubahan volume pada r=12mm dan h=24mm

8 Perubahan variabel Bila z=f(x,y) dimana x, y juga merupakan fungsi dari variable bebas u dan v. formulasi untuk dz/du dan dz/dv. Persamaan awal adalah: Dengan membagi dengan du dan dv maka:

9 Contoh Jika z= x2-y2 dan x=r cos  dan y= r sin  tentukan dz/d ; dz/dr; d2z/d2; d2z/dr2 Solusi:

10 Fungsi invers Bila z=f(x,y) dan x dan y merupakan fungsi dari variable u dan v yang dinyatakan dalam fungsi u=g(x,y) dan v= h(x,y). Kita bias menentukan dx/du; dx/dv;dy/du; dy/dv serta dz/dx dan dz/dy Contoh: Jika z=f(x,y) dan u=excosy dan v=e-x sin y tentukan dx/du dan dx/dv (1) (2)

11 continue (1) (2) Jumlahkan Menentukan dy

12 rumusan Menentukan dx Menentukan dy Eliminasi dx
Jika z=f(x,y) dan x=g(u,v); y=h(u.v) maka Untuk menentukan du dan dv eliminasi dy Kurangkan Eliminasi dx

13 continue Dari jawaban di atas terlihat bahwa pembaginya sama sehingga bias dinyatakan dengan determinan yang disebut dengan Jacobian