Presentasi sedang didownload. Silahkan tunggu

Presentasi sedang didownload. Silahkan tunggu

BENTUK POLAR DARI FUNGSI KOMPLEKS Yulvi Zaika. BENTUK POLAR BILANGAN KOMPLEKS Selain dinyatakan dalam bentuk z = x+iy = (x,y), bilangan kompleks z dapat.

Presentasi serupa


Presentasi berjudul: "BENTUK POLAR DARI FUNGSI KOMPLEKS Yulvi Zaika. BENTUK POLAR BILANGAN KOMPLEKS Selain dinyatakan dalam bentuk z = x+iy = (x,y), bilangan kompleks z dapat."— Transcript presentasi:

1 BENTUK POLAR DARI FUNGSI KOMPLEKS Yulvi Zaika

2 BENTUK POLAR BILANGAN KOMPLEKS Selain dinyatakan dalam bentuk z = x+iy = (x,y), bilangan kompleks z dapat dinyatakan pula dalam bentuk koordinat kutub atau Polar, yaitu z = (r,  ). 2

3 Hubungan (x,y) dengan (r,) x = r cos , y = r sin , sehingga  = arc tan  adalah sudut antara sumbu x positif dengan oz didapat juga Jadi, bentuk kutub bilangan kompleks z adalah z = (r,  ) = r(cos  + i sin  ). dan sekawan dari z adalah = (r, -  ) = r(cos  - i sin  ). 3

4

5 Selain penulisan bilangan kompleks z = (x, y) = (r,  ) = r(cos  + i sin  ) = r cis , maka dapat menuliskan z dalam rumus Euler (eksponen), yaitu z = re i , dan sekawannya adalah re -i . Tugas: Buktikan bahwa e i  = cos  + i sin , dengan menggunakan deret MacLaurin untuk cos , sin  dan e t dengan mengganti t = i . 5

6 Contoh : Nyatakan bilangan kompleks z = 1 + i dalam bentuk polar dan eksponen ! 6

7 Contoh : Nyatakan bilangan kompleks z = 1 + i dalam bentuk polar dan eksponen ! Jawab : z = 1 + i, r =, tan  = 1, sehingga  = 45⁰=  Jadi z = (cos  + i sin  ) = cis  = 7

8 2. Betuk Polar  Pembagian Dilakukan dengan cara membagi pembilang dengan penyebut dan mengurangi sudut pembilang dengan sudut penyebut. Misal dan Maka :   Penambahan dan Pengurangan Tidak dapat dilakukan kecuali memiliki sudut  yang sama atau hanya berbeda phasa kelipatan  Misal dan Maka Z 1.z 2 = r1r2[cos(1+2) + i sin (1+2) z 1= r1 (cos1+i sin1)Z 2= r2 (cos2+i sin2) z 1= r1 (cos1+i sin1) Z 2= r2 (cos2+i sin2)

9 Perkalian Telah kita ketahui bahwa bilangan kompleks dalam bentuk kutub adalah z = r(cos  + i sin  ). Jika z 1 = r 1 (cos  1 + i sin  1 ) & z 2 = r 2 (cos  2 + i sin  2 ), maka kita peroleh hasil perkalian keduanya sebagai berikut : z 1 z 2 = [r 1 (cos  1 + i sin  1 )][r 2 (cos  2 + i sin  2 )] z 1 z 2 = r 1 r 2 [(cos  1 cos  2 - sin  1 sin  2 ) + i (sin  1 cos  2 + cos  1 sin  2 )] z 1 z 2 = r 1 r 2 [cos (  1 +  2 ) + i sin (  1 +  2 )] 9 Dari hasil perkalian tersebut diperoleh: arg(z 1 z 2 ) =  1 +  2 = arg z 1 + arg z 2

10 Pembagian: Sedangkan pembagian z 1 dan z 2 adalah sebagai berikut: Setelah pembilang dan penyebut dikalikan dengan sekawan penyebut, yaitu r 2 (cos  2 - i sin  2 ), maka diperoleh : [cos (  1 -  2 ) + i sin (  1 -  2 )] Dari rumus di atas diperoleh: arg  1 -  2 = arg z 1 – arg z 2. 10

11 Akibat lain jika z = r(cos  + i sin  ), maka: Untuk:. Setelah pembilang dan penyebut dikalikan sekawan penyebut, maka didapat :

12

13 Perpangkatan

14 Contoh: Hitunglah : Jawab : Misalkan maka karena z di kuadran IV, maka dipilih jadi 14

15 Akar Bilangan Kompleks Bilangan kompleks z adalah akar pangkat n dari bilangan kompleks w, jika z n = w, dan ditulis. Jika z =  (cos  +i sin  ) akar pangkat n dari bilangan kompleks w = r(cos  +i sin  ), maka dari z n = w diperoleh:  n (cosn  +i sinn  ) = r(cos  +i sin  ), sehingga  n = r dan n  =  +2k , k bulat. Akibatnya dan Jadi... 15

16 Jadi, akar pangkat n dari bilangan kompleks w = r(cos  +i sin  ) adalah: z = [cos( ) + i sin ( )], k bulat dan n bilangan asli. Dari persamaan z n = w, ada n buah akar berbeda yang memenuhi persamaan itu. Untuk mempermudah dipilih k = 0,1,2,3,…,(n-1); 0  < 2 , sehingga diperoleh z 1,z 2,z 3,…,z n sebagai akar ke-n dari z. 16

17 Contoh : Hitunglah (-81) 1/4 Jawab : Misalkan z = (-81) 1/4, berarti harus dicari penyelesaian persamaan z 4 = -81. Tulis z =  (cos  +i sin  ) dan –81 = 81(cos i sin180 0 ), sehingga  4 (cos4  +i sin4  ) = 81(cos i sin180 0 ), diperoleh  4 = 81, atau  = 3 dan. Jadi z = 3[cos( )+i sin( )] Keempat akar yang dicari dapat diperoleh dengan mensubstitusi k = 0,1,2,3 ke persamaan terakhir. 17

18

19 1. Diketahui z 1 = 6 + 5i dan z 2 = 8 – i. Tentukan z 1 + z 2, z 1 - z 2, z 1 z 2, dan z 1 / z 2 2. Jika z = -1-i, buktikan z 2 + 2z + 2 = Hitung jarak antara z 1 = 2 + 3i dan z 2 = 5 – i. 4. Nyatakan bilangan kompleks z = 2 -2i dalam bentuk polar dan eksponen 5.. Hitunglah (-2+2i) 15


Download ppt "BENTUK POLAR DARI FUNGSI KOMPLEKS Yulvi Zaika. BENTUK POLAR BILANGAN KOMPLEKS Selain dinyatakan dalam bentuk z = x+iy = (x,y), bilangan kompleks z dapat."

Presentasi serupa


Iklan oleh Google