Presentasi sedang didownload. Silahkan tunggu

Presentasi sedang didownload. Silahkan tunggu

Signal&System Jurusan Elektro STT Telkom 1/35 TRANSFORMASI LAPLACE TEAM DOSEN EE2423 SINYAL & SISTEM.

Presentasi serupa


Presentasi berjudul: "Signal&System Jurusan Elektro STT Telkom 1/35 TRANSFORMASI LAPLACE TEAM DOSEN EE2423 SINYAL & SISTEM."— Transcript presentasi:

1 Signal&System Jurusan Elektro STT Telkom 1/35 TRANSFORMASI LAPLACE TEAM DOSEN EE2423 SINYAL & SISTEM

2 Signal&System Jurusan Elektro STT Telkom 2/35  Pada analisis transien, rangkaian selalu dihadapkan dengan bilangan kompleks  + j. Sedangkan Transformasi Fourier Waktu Kontinyu (TFWK) hanya bekerja dalam daerah  (kondisi steady sate).  Transformasi Laplace, seperti halnya (TFWK) yang mentransformasikan sinyal di kawasan waktu ke kawasan frekuensi (dalam frekuensi kompleks).

3 Signal&System Jurusan Elektro STT Telkom 3/35 Transformasi laplace Bilateral (TLB) TLB diturunkan dari TFWK : ~ X(Ω) = ∫ x(t) e -jΩt dt -~  ~ X(t) = (1/2π) ∫ X(Ω) e jΩt dΩ -~

4 Signal&System Jurusan Elektro STT Telkom 4/35 Definisikan suatu fungsi y(t) = e -t x(t),dengan e -t adalah faktor konvergensi. Maka TFWK dari y(t) :   Y(Ω) = ∫ e -t x(t) e -jΩt dt = ∫ x(t) e -(+jΩ)t dt - - = X(+jΩ)  JadiX(+jΩ)= ∫ x(t) e -(+jΩ)t dt - = X(+jΩ)

5 Signal&System Jurusan Elektro STT Telkom 5/35  x(t) = (1/2Π) ∫ X(+jΩ) e -(+jΩ)t dΩ - Definisikan variabel frekuensi kompleks : s = +jΩ sehingga ds = jdΩ dan dΩ = ds/j. Maka :  X(s) = ∫ x(t) e-st dt -  X(t) =(1/2Πj) ∫ X(s) est ds -  Disebut Pasangan TLB

6 Signal&System Jurusan Elektro STT Telkom 6/35 Notasi : X(s) = ₤ [x(t)] x(t) = ₤-1[X(s)] Konvergensi TLB : terintegrasi secara mutlak.  0  ∫ │ x(t) e-t │ dt = ∫ │ x(t) │ e-t dt + ∫ │ x(t) │ e-t dt   - - 0 Transformasi Laplace 2 sisi ada, bila :  X(s) = ∫ x(t) e-st dt terbatas -

7 Signal&System Jurusan Elektro STT Telkom 7/35 Maka X(s) dijamin ada bila :  ∫ │ x(t) e -t │ dt = ∫ │ x(t) │ e -t dt terbatas - - Sebagai contoh : x(t) = A. e t, untuk t  0 = A. e t, untuk t  0, dimana A, ,  adalah bilangan riil. Maka : konvergen untuk     

8 Signal&System Jurusan Elektro STT Telkom 8/35 Contoh soal : Carilah Transformasi Laplace dari x(t) = 3. e -2t u(t) + 4 e t u(-t) 0  X(s) = ∫ 4. e -(s-1) t dt + ∫3.e -(s+2) t dt - 0 Konvergen Konvergen Untuk   -2 Untuk   1 Maka : X(s) = 3/(s+2) – 4/(s-1) konvergen untuk -2    1

9 Signal&System Jurusan Elektro STT Telkom 9/35 TRANSFORMASI LAPLACE SATU SISI [TLSS] Definisi : diberikan suatu sinyal x(t) kausal, maka :  X(s) = ∫ x(t) e -st dt 0 +jΩ x(t) =(1/2Πj) ∫ X(s) e st ds -jΩ Konvergensi TLSS jika :lim e-t x(t) = 0 s → 

10 Signal&System Jurusan Elektro STT Telkom 10/35 TRANSFORMASI LAPLACE BEBERAPA SINYAL a). Sinyal impuls δ(t)  ₤[δ(t)] = ∫ δ(t) e -st dt 0 Ingat : δ(t) = 1, t = 0 = 0, t lainnya Begitu pula e -st δ(t)= 1, t = 0 = 0, t lainnya Sehingga :  ₤[δ(t)] = ∫ δ(t) e-st dt 0

11 Signal&System Jurusan Elektro STT Telkom 11/35 b). Sinyal langkah satuan u(t)  ₤[u(t)] = ∫ u(t) e-st dt 0 Ingat : u(t) = 1, t ≥ 0 = 0, t  0 Sehingga :  ₤[u(t)] = ∫ u(t) e -st dt = -(1/s) e -st │ = -(1/s) [e - - e 0 ] 0 ₤[u(t)] = 1/s

12 Signal&System Jurusan Elektro STT Telkom 12/35 c). Sinyal Ramp [t.u(t)]  ₤[t.u(t)] = ∫ t. u(t) e -st dt 0 Untuk t ≥ 0 maka t. u(t) = t Sehingga :  ₤[t.u(t)] = ∫ t e -st dt 0 Ingat :  ∫ x n.e -st dx = (n!)/(a n+1 ) 0 Untuk a  0 dan n  0 ₤[t.u(t)] = 1 !/(s 1+1 ) = 1/s 2

13 Signal&System Jurusan Elektro STT Telkom 13/35 Dengan cara yang sama :   ₤[t n.u(t)] = ∫ t n. u(t) e -st dt = ∫ t n. e -st dt 0 0 ₤[t n.u(t)] = n !/(s n+1 ) ₤[t n-1.u(t)/(n-1)!] = 1/s n

14 Signal&System Jurusan Elektro STT Telkom 14/35 d) Sinyal Eksponensial Bila f(t) = u(t) → F(s) = 1/s Maka ₤[e -at.u(t)] = F(s+a) Jadi : ₤[e -at.u(t)] = 1/(s+a) Begitu pula untuk sinyal berikut ini : ₤[(1- e -at ) u(t)] = ₤[u(t)] - ₤[e -at ) u(t) = 1/s - 1/(s+a) ₤[(1- e -at ) u(t)] = a/[s(s+a)]

15 Signal&System Jurusan Elektro STT Telkom 15/35 Dengan cara yang sama : ₤[(t. e -at ) u(t)] = 1/(s+a) 2 Dan ₤[(t n-1. e -at ) u(t)/(n-1)!] = 1/(s+a) n

16 Signal&System Jurusan Elektro STT Telkom 16/35 e). Sinyal sinusoidal dan cosinusoidal ₤[sin Ωt u(t)] = ₤[u(t).(e jΩt – e -jΩt )/2j] = (1/2j) {₤[e jΩt u(t)] – ₤ [e -jΩt u(t)]} = (1/2j) [1/(s-jΩ) - 1/(s+jΩ)] ₤[sin Ωt u(t)]= Ω/(s 2 + Ω 2 ) Dengan cara yang sama : ₤[cos Ωt u(t)]= s/(s 2 + Ω 2 ) ₤[ e -at sin Ωt u(t)]= Ω/[(s+a) 2 + Ω 2 ] ₤[ e -at cos Ωt u(t)]= (s+a)/[(s+a) 2 + Ω 2 ]

17 Signal&System Jurusan Elektro STT Telkom 17/35 SIFAT-SIFAT TRANSFORMASI LAPLACE Jika ₤[x(t)] = X(s) ₤[x 1 (t)] = X 1 (s) ₤[x 2 (t)] = X 2 (s) maka : a). Linearitas ₤[a 1 x 2 (t) + a 2 x 2 (t)] = a 1 X 1 (s) + a 2 X 2 (s) Contoh : ₤[cos Ωt] = ₤ [0,5 e jΩt + 0,5 e -jΩt ] = 0,5 ₤ [e jΩt ] + 0,5 ₤ [e -jΩt ] = 0,5[1/(s-jΩ)] + 0,5[1/(s+jΩ)] = s/(s 2 + Ω 2 ) ₤[sin Ωt] = ₤ [0,5 e jΩt - 0,5 e -jΩt ] = 0,5 ₤ [e jΩt ] - 0,5 ₤ [e -jΩt ] = (0,5/j)[1/(s-jΩ)] + (0,5/j)[1/(s+jΩ)] = Ω /(s 2 + Ω 2 )

18 Signal&System Jurusan Elektro STT Telkom 18/35 b). Pergeseran waktu Jika ₤[x(t) u(t)] = X(s) maka ₤[x(t-τ) u(t-τ)] = e -sτ X(s), τ  (Buktikan) Sehingga dapat ditabelkan sebagai berikut : x(t)  X(s) δ(t-τ)  e -sτ u(t-τ)  e -sτ (1/s) (t-τ) u(t-τ)  e -sτ (1/s 2 ) (t-τ) n u(t-τ)  e -sτ (n!/s n+1 ) e -a(t-τ) u(t-τ)  e -sτ [1/(s+a)]

19 Signal&System Jurusan Elektro STT Telkom 19/35 Pasangan sinyal dalam kawasan waktu dan sinyal dalam kawasan frekuensi pada tabel di atas merupakan pasangan transformasi Laplace. Sehingga bila diketahui dalam sinyal dalam kawasan frekuensi maka dapat dicari sinyal dalam kawasan waktu, walaupun belum dibahas Invers Transformasi Laplace.

20 Signal&System Jurusan Elektro STT Telkom 20/35 Contoh Soal Tentukan transformasi Laplace dari fungsi sebagai berikut : v(t) volt t(μs) v(t) = 4,5 (t-10) u(t-10) – 4,5 (t-30) u(t-30) – 90 u(t-30) V(s) = 4,5 {₤[(t-10) u(t-10)] - ₤[(t-30) u(t-30)] – 20 ₤[u(t-30)]} = 4,5 {e -10s ₤(t.u(t)) - e -30s ₤(t.u(t)) – 20 e -30s ₤(u(t))} = 4,5 [(e -10s /s 2 ) – (e -30s /s 2 ) – (20 e -30s /s)]

21 Signal&System Jurusan Elektro STT Telkom 21/35 Latihan Dengan teorema pergeseran frekuensi, carilah Invers Transformasi Laplace dari : (s+10)/(s 2 +8s+20) (s+3)/(s 2 +4s+5) s/(s 2 +6s+18) 10/(s 2 +10s+34)

22 Signal&System Jurusan Elektro STT Telkom 22/35 c). Pergeseran Frekuensi Bila y(t) = x(t) e -t maka ₤[y(t)] = Y(s) = X(s+) dimana X(s) = ₤[x(t)] Begitu pula : ₤[ e -t cos Ωt u(t)]= (s+)/[(s+) 2 + Ω 2 ] Juga : ₤[ e -t sin Ωt u(t)]= Ω/[(s+) 2 + Ω 2 ]

23 Signal&System Jurusan Elektro STT Telkom 23/35 Contoh soal X(s) = (s+8)/(s 2 +6s+13), dapat ditulis sebagai : X(s) = (s+8)/[(s+3) 2 +4] = (s+3)/ [(s+3) 2 +22] + 5/ [(s+3) 2 +22] x(t) = e -3t [cos2t + 2,5 sin 2t], t  0

24 Signal&System Jurusan Elektro STT Telkom 24/35 d). Penskalaan Waktu dan frekuensi ₤[x(at)] = (1/a) X(s/a)

25 Signal&System Jurusan Elektro STT Telkom 25/35 e). Diferensiasi Waktu  ₤[dx(t)/dt] = ∫ e -st dx(t)/dt. dt 0 b b b Ambil u = e-st dan dv = dx(t) serta ingat ∫u dv = uv - ∫ v.du │ a a a du = -s e -st dt dan v = x(t) sehingga :   ₤[dx(t)/dt] = e -st x(t) │ + s ∫ x(t) e-st dt 0 0 ₤[dx(t)/dt] = s. X(s) – x(0-)

26 Signal&System Jurusan Elektro STT Telkom 26/35 Contoh soal Carilah Transformasi Laplace dari : 8 dx(t)/dt + 3 x(t) = 2t u(t) dengan x(0) = -1 ₤[8 dx(t)/dt + 3 x(t)] = ₤[2t u(t)] ₤[8 dx(t)/dt] + 3₤[ x(t)] = ₤[2t u(t)] 8 [s X(s) – x(0)] + 3 X(s) = 2 (1/s 2 ) 8 s X(s) X(s) = 2/s 2 (8s + 3) X(s) = (2/s 2 ) – 8 X(s) = 2/[s 2 (8s+3)] – 8/(8s+3)

27 Signal&System Jurusan Elektro STT Telkom 27/35 f). Integrasi Waktu t Jika ₤[f(t)] = F(s) maka ₤[∫f(t) dt] = F(s)/s 0 t  t Ingat ₤[∫f(t) dt] = ∫ [ ∫ f(t) dt] e-st dt t Ambil u = ∫ f(t) dt → du = f(t) dt 0 dv = e -st dt → v = -(1/s) e -st

28 Signal&System Jurusan Elektro STT Telkom 28/35 Contoh Soal Carilah Transformasi Laplace dari : t 0,5 dv(t)/dt + 0,2 v(t) + 2 ∫ v(t) dt + 10 = 0,5 sin 10t u(t) Ampere. 0 Dengan v(0) = 20 volt t 0,5₤[ dv(t)/dt] + 0,2 ₤[v(t)] + 2 ₤[∫dt] + 10 ₤[1] = 0,5 ₤[sin 10t u(t)] 0 0,5[sV(s) – v(0)] + 0,2 V(s) + (2/s) V(s) + 10 (1/s) = 0,5. 10/(s ) 0,5 [sV(s) – 20] + 0,2 V(s) + (2/s) V(s) + 10/s = 0,5. 10/(s2+100) (0,5 s + 0,2 + 2/s) V(s) = 10 – 10/s + 5/(s ) [0,5(s 2 +0,4 s +4)/s] V(s) = 10(s 3 – s ,5 s -100)/[s(s )] V(s) = 20 (s 3 – s ,5 s -100)/[(s )(s 2 +0,4s+4)] volt.sec.

29 Signal&System Jurusan Elektro STT Telkom 29/35 g). Periodisitas Bila x p (t) adalah sinyal periodik dan x1(t) adalah sinyal periode pertama dari xp(t) dan ₤[ x 1 (t)]= X 1 (s) maka : ₤[x p (t)] = [1/(1-e -Ts )] X 1 (s) dengan T adalah periode Hal ini dapat lebih dijelaskan sebagai berikut : Suatu fungsi periodik f(t) = f 1 (t) + f 2 (t) Dengan f 1 (t) adalah sinyal periode pertama f 2 (t) adalah sinyal periode kedua dan seterusnya.

30 Signal&System Jurusan Elektro STT Telkom 30/35 Sehingga f(t) dapat dituliskan sebagai berikut : f(t) = f1(t) + f2(t) + f3(t) = f1(t) + f1(t-T) u(t-T) + f1(t-2T) u(t-2T) F(s) = F1(s) + F1(s) e -Ts + F1(s) e -2Ts = F1(s) [1 + e -Ts + e -2Ts +....] = [1/(1-e -Ts )] F1(s)

31 Signal&System Jurusan Elektro STT Telkom 31/35 h). Teorema Nilai Awal dan Nilai Akhir Digunakan untuk memudahkan mencari solusi suatu kondisi awal ( t =0) dan kondisi akhir ( t = ) dari suatu fungsi waktu melalui suatu fungsi frekuensi (s). Teorema Nilai Awal  ∫[(dx(t)/dt] e -st dt = s X(s) – x(0) 0  s →  : limit ∫[dx(t)/dt] e -st dt = limit [s X(s)] – x(0) 0 s →  = limit [s X(s)] – x(0) s →  x(0) = limit x(t) = limit s X(s) t → 0 s → 

32 Signal&System Jurusan Elektro STT Telkom 32/35 Teorema Nilai Akhir  ∫[(dx(t)/dt] e -st dt = s X(s) – x(0) 0  limit ∫[(dx(t)/dt] e -st dt = ∫[(dx(t)/dt] = limit [dx(t)/dt] dt s → t →  = limit [x(t) – x(0)] t →  limit x(t) = limit s X(s) t →  s → 0

33 Signal&System Jurusan Elektro STT Telkom 33/35 i). Konvolusi Dua Sinyal Bila x 1 (t) dan x 2 (t) mempunyai harga =0, untuk t  0   Dan y(t) = x 1 (t) * x 2 (t) = ∫ x 1 (τ) * x 2 (t-τ) dτ = ∫ x 1 (t-τ) * x 2 (τ) dτ 0 0  Maka Y(s) = ₤[y(t)] = ∫ [ ∫ x1(τ) x2(t-τ) dτ] e -st dt 0 0 Ambil η = t – τ :  Y(s) = ∫ x1(τ) [ ∫ x2(η) e -sη dη] e -sη dτ 0 0 Y(s) = X 1 (s). X 2 (s)

34 Signal&System Jurusan Elektro STT Telkom 34/35 j). Perkalian dengan t Jika ₤[f(t)] = F(s) maka ₤[t. f(t)] = -dF(s)/ds Dan secara umum dapat dituliskan sebagai : ₤[tn. f(t)] = (-1) n d n F(s)/ds k). Pembagian dengan t  Jika ₤[f(t)] = F(s) maka ₤[f(t)/t] = ∫ F(s) ds 0

35 Signal&System Jurusan Elektro STT Telkom 35/35 Latihan Carilah nilai awal dan nilai akhir dari : 1). X(s) = (s+10)/(s 2 +3s+2) 2). A(s) = 1/(s+10) 3). Y(s) = 1/s 4). F(s) = s/(s+10)


Download ppt "Signal&System Jurusan Elektro STT Telkom 1/35 TRANSFORMASI LAPLACE TEAM DOSEN EE2423 SINYAL & SISTEM."

Presentasi serupa


Iklan oleh Google