Presentasi sedang didownload. Silahkan tunggu

Presentasi sedang didownload. Silahkan tunggu

Fungsi dan Grafik Sudaryatno Sudirham Klik untuk melanjutkan.

Presentasi serupa


Presentasi berjudul: "Fungsi dan Grafik Sudaryatno Sudirham Klik untuk melanjutkan."— Transcript presentasi:

1 Fungsi dan Grafik Sudaryatno Sudirham Klik untuk melanjutkan

2 Bahan Kuliah Terbuka dalam format pdf tersedia di dalam format pps beranimasi tersedia di

3 Buku Fungsi dan Grafik (pdf) tersedia di dan

4 Pembatasan Pembahasan Fungsi dan Grafik dibatasi hanya padafungsi dengan peubah bebas tunggal yang berupa bilangan nyata

5 Keseluruhan bahasan mengenai fungsi dan grafik akan mencakup 1.Pengertian Tentang Fungsi 2.Fungsi Linier 3.Gabungan Fungsi Linier 4.Mononom dan Polinom 5.Bangun Geometris 6.Fungsi Trigonometri 7.Gabungan Fungsi Sinus 8.Fungsi Logaritma Natural 9.Fungsi Eksponensial 10.Fungsi Hiperbolik 11.Fungsi dalam Koordinat Polar

6

7 Fungsi Apabila suatu besaran y maka dikatakan bahwa memiliki nilai yang tergantung dari nilai besaran lain x y merupakan fungsi x

8 panjang sebatang batang logam (= y) merupakan fungsi temperatur (= x) Secara umum pernyataan bahwa y merupakan fungsi x dituliskan y disebut peubah tak bebas nilainya tergantung x x disebut peubah bebas bisa bernilai sembarang Dalam pelajaran ini kita hanya akan melihat x yang berupa bilangan nyata. Selain bilangan nyata kita mengenal bilangan kompleks yang dibahas dalam pelajaran mengenai bilangan kompleks. Walaupun nilai x bisa berubah secara bebas, namun nilai x tetap harus ditentukan sebatas mana ia boleh bervariasi Contoh:

9 Domain Domain ialah rentang nilai (interval nilai) di mana peubah-bebas x bervariasi. a b rentang terbuka a < x < b a dan b tidak termasuk dalam rentang rentang setengah terbuka a b a  x < b a masuk dalam rentang, tetapi b tidak rentang tertutup a b a  x  b a dan b masuk dalam rentang Ada tiga macam rentang nilai yaitu:

10 Sistem koordinat x-y atau koordinat sudut-siku P[2,1] Q[-2,2] R[-3,-3] S[3,-2] y x IV III III sumbu-x sumbu-y Bidang dibatasi oleh dua sumbu, yaitu sumbu mendatar yang kita sebut sumbu-x dan sumbu tegak yang kita sebut sumbu-y. Bidang terbagi dalam 4 kuadran yaitu Kuadran I, II, III, dan IV (koordinat Cartesian, dikemukakan oleh des Cartes) Posisi titik pada bidang dinyatakan dalam koordinat [x, y]

11 Kurva dari Suatu Fungsi Setiap nilai x akan menentukan satu nilai y x01234dst. y-0,500,511,52dst. -0,5 0 0,5 1 1,5 2 2, x y ΔxΔx ΔyΔy P R Q Kurva Titik P, Q, R, terletak pada kurva Kemiringan kurva: Kita lihat fungsi: (kita baca: “delta x per delta y”)

12 Kekontinyuan Suatu fungsi yang kontinyu dalam suatu rentang nilai x tertentu, akan membentuk kurva yang tidak terputus dalam rentang tersebut. Suatu fungsi y = f(x) yang terdefinisi di sekitar x = c dikatakan kontinyu di x = c jika dipenuhi dua syarat: (1) fungsi tersebut memiliki nilai yang terdefinisi sebesar f(c) di x = c; (2) nilai f(x) akan menuju f(c) jika x menuju c; pernyataan ini kita tuliskan sebagai yang kita baca: limit f(x) untuk x menuju c sama dengan f(c).

13 Contoh: y = 1/x y x Tak terdefinisikan di x = 0 y = u(x) 1 y x 0 0 Terdefinisikan di x = 0 yaitu y| x=0 = 1 (y untuk x = 0 adalah 1) (y untuk x = 0 tidak dapat ditentukan nilainya)

14 Simetri 1.Jika fungsi tidak berubah apabila x kita ganti dengan  x maka kurva fungsi tersebut simetris terhadap sumbu-y; 2. Jika fungsi tidak berubah apabila x dan y dipertukarkan, kurva fungsi tersebut simetris terhadap garis-bagi kuadran I dan III. 3. Jika fungsi tidak berubah apabila y diganti dengan  y, kurva fungsi tersebut simetris terhadap sumbu-x. 4. Jika fungsi tidak berubah jika x dan y diganti dengan  x dan  y, kurva fungsi tersebut simetris terhadap titik-asal [0,0].

15 Contoh: y = 0,3x 2 y = 0,05x 3 y 2 + x 2 = 9 x y tidak berubah jika x dan y diganti dengan  x dan  y tidak berubah bila x diganti  x tidak berubah jika: x diganti  x x dan y diganti dengan  x dan  y x dan y dipertukarkan y diganti dengan  y (simetris terhadap sumbu-y) (simetris terhadap titik [0,0])

16 Pernyataan Fungsi Bentuk Implisit Pernyataan fungsi Pernyataan bentuk implisit Walaupun tidak dinyatakan secara eksplisit, setiap nilai peubah-bebas x akan memberikan satu atau lebih nilai peubah-tak-bebas y dapat diubah ke bentuk eksplisit disebut bentuk eksplisit x y

17 Fungsi Bernilai Tunggal Fungsi bernilai tunggal adalah fungsi yang hanya memiliki satu nilai peubah-tak-bebas untuk setiap nilai peubah-bebas x y 0 0,8 1,6 012 x y -1,6 -0, x y 0 0, x y x y Contoh:

18 Fungsi Bernilai Banyak x y Fungsi bernilai banyak adalah fungsi yang memiliki lebih dari satu nilai peubah-tak-bebas untuk setiap nilai peubah-bebas x y Contoh:

19 Fungsi Dengan Banyak Peubah Bebas Secara umum kita menuliskan fungsi dengan banyak peubah-bebas: Fungsi dengan banyak peubah bebas juga mungkin bernilai banyak, misalnya Fungsi ini akan bernilai tunggal jika dinyatakan sebagai

20 Sistem Koordinat Polar Selain sistem koordinat sudut-siku di mana posisi titik dinyatakan dalam skala sumbu-x dan sumbu-y, kita mengenal pula sistem koordinat polar. Dalam sistem koordinat polar, posisi titik dinyatakan oleh jarak titik ke titik-asal [0,0] yang diberi simbol r, dan sudut yang terbentuk antara r dengan sumbu-x yang diberi simbol  Hubungan antara koordinat sudut siku dan koordinat polar adalah sebagai berikut x P  r y rsin  rcos 

21 Contoh: y x r  P[r,  ] Bentuk ini disebut cardioid

22 -0,5 0 0,5 1 1, x y r  P[r,  ] y = 2 Contoh:

23

24 Fungsi Tetapan Fungsi tetapan bernilai tetap untuk rentang nilai x dari  sampai + . x y y = 4 Contoh:

25 Persamaan Garis Lurus yang melalui [0,0] kemiringan garis lurus x y ΔxΔx ΔyΔy x y y = 0,5x y = x y = 2x y = -1,5 x m > 0 m < 0 Contoh: garis lurus melalui [0,0]

26 Pergeseran Kurva dan Persamaan Garis Lurus y = 2x y  2 = 2x x y y = 2x y =2(x–1) x y 0 Secara umum, persamaan garis lurus yang tergeser sebesar b ke arah sumbu-y positif adalah menunjukkan pergeseran sebesar a ke arah sumbu-x positif titik potong dengan sumbu-y titik potong dengan sumbu-x Bentuk umum persamaan garis lurus pergeseran ke arah sumbu-y pergeseran ke arah sumbu-x menunjukkan pergeseran sebesar b ke arah sumbu-y positif

27 Contoh: Persamaan garis: x y 0 memotong sumbu y di 4 memotong sumbu x di 2 atau dapat dilihat sebagai garis melalui (0,0) yaitu y = -2x yang tergeser kearah sumbu-y atau tergeser kearah sumbu-x

28 Persamaan Garis Lurus yang melalui dua titik [x1,y1][x1,y1] [x2,y2][x2,y2] x y x y 0 [1,4] [3,8] persamaan garis:atau Contoh: Persamaan garis lurus melalui [0,0] yang sejajar dengan garis yang melalui P dan Q P Q Garis ini harus digeser hingga melalui P dan Q

29 Perpotongan Garis Lurus Contoh: Koordinat titik potong P harus memenuhi persamaan y 1 maupun y 2. Dua garis: Koordinat titik potong P harus memenuhi: dan y x y2y2 y1y1 P xPxP yPyP Titik potong:

30 Contoh-Contoh Fungsi Linier dalam Peristiwa Nyata Suatu benda dengan massa m yang mendapat gaya F akan memperoleh percepatan a  anoda katoda l Contoh: Beda tegangan antara anoda dan katoda dalam tabung katoda adalah V Kuat medan listrik: Gaya pada elektron: Percepatan pada elektron: gaya fungsi linier dari V percepatan fungsi linier dari F e Apakah percepatan elektron fungsi linier dari V ?

31 Suatu pegas, jika ditarik kemudian dilepaskan akan kembali pada posisi semula apabila tarikan yang dilakukan masih dalam batas elastisitas pegas. Gaya tarikan merupakan fungsi linier dari panjang tarikan. Contoh: Dalam sebatang konduktor sepanjang l, akan mengalir arus listrik sebesar i jika antara ujung-ujung konduktor diberi perbedaan tegangan sebesar V. Arus merupakan fungsi linier dari tegangan. gaya panjang tarikan konstanta pegas konduktansi resistansi kerapatan arus resistivitas G dan R adalah tetapan Luas penampang konduktor panjang konduktor

32 Contoh: materi masuk di x a materi keluar di x xaxa x CaCa CxCx xx Peristiwa difusi mencapai keadaan mantap,jika konsentrasi materi C a di x a dan C x di x bernilai konstan Inilah Hukum Fick Pertama yang secara formal menyatakan bahwa fluksi dari materi yang berdifusi sebanding dengan gradien konsentrasi. Peristiwa difusi: materi menembus materi lain gradien konsentrasi koefisien difusi Fluksi materi yang berdifusi merupakan fungsi linier dari gradien konsentrasi Fluksi materi yang berdifusi ke arah x

33

34 Fungsi Anak Tangga muncul pada x = 0 amplitudo Fungsi ini memiliki nilai yang terdefinisi di x = 0 Fungsi anak tangga satuan Secara umum x y 1 1 Contoh: x y

35 Fungsi anak tangga tergeser x y 1 Pergeseran sebesar a ke arah sumbu-x positif Contoh:

36 Fungsi Ramp x y y 1 = xu(x) y 2 = 2xu(x) y 3 = 1,5(x-2)u(x-2) Fungsi ramp tergeser: Fungsi ramp satuan : Contoh: kemiringan a = 1 kemiringan Fungsi ini baru muncul pada x = 0 karena ada faktor u(x) yang didefinisikan muncul pada x = 0 (fungsi anak tangga) Pergeseran searah sumbu-x

37 Pulsa Pulsa merupakan fungsi yang muncul pada suatu nilai x 1 tertentu dan menghilang pada x 2 > x 1 y 1 =2u(x-1) y 2 =  2u(x  2) y 1 + y 2 = 2 u(x-1) – 2 u(x-2) lebar pulsa x perioda x y Deretan Pulsa: Contoh:

38 Perkalian Ramp dan Pulsa ramp pulsa hanya mempunyai nilai dalam selang lebarnya y 1 =2xu(x) y 2 =1,5{u(x-1)-u(x-3)} y 3 = y 1 y x y Contoh: maka y juga akan bernilai dalam selang lebar pulsa saja

39 y 2 = {u(x)-u(x-b)} y 1 = mxu(x) y 3 = y 1 y 2 = mx{u(x)-u(x-b)} y y x b Contoh:

40 Gabungan Fungsi Ramp Contoh: y 1 = 2xu(x) y 2 =  2(x  2)u(x  2) y 3 = 2xu(x)  2(x  2)u(x  2) y x Kemiringan yang berlawanan membuat y 3 bernilai konstan mulai dari x tertentu

41 y 1 =2xu(x) y 2 =  4(x  2)u(x  2) y 3 = 2xu(x)  4(x  2)u(x  2) x y y 2 lebih cepat menurun dari y 1 maka y 3 menurun mulai dari x tertentu Contoh:

42 y 1 = 2xu(x) y 2 =  4(x-2)u(x-2) y 3 = {2xu(x)  4(x-2)u(x-2)}{u(x-1)-u(x-3)} x y Pulsa ini membuat y 3 hanya bernilai dalam selang 1  x  3 Contoh:

43

44 Mononom

45 Mononom adalah pernyataan tunggal yang berbentuk kx n Mononom Pangkat Dua: y = x 2 y = 3x 2 y = 5x 2 y x y x Contoh: y memiliki nilai maksimum Karena x 2  0,maka jika k > 0  y > 0 jika k < 0  y < 0 y memiliki nilai minimum

46 y 1 = 10x 2 y 2 = 10(x  2) 2 y 3 = 10(x  2) Pergeseran kurva mononom pangkat dua x y Pergeseran ke arah sumbu-x positif Pergeseran ke arah sumbu-y positif

47 Mononom Pangkat Genap pada umumnya Pada mononom berpangkat genap, makin besar pangkat makin melandai kurva di sekitar titik puncak Jika kurva-kurva ini memiliki nilai k yang sama maka mereka berpotongan di titik P[1,k] Koordinat titik potong antara kurva Contoh: Kurva mononom pangkat genap simetris terhadap sumbu-y

48 Mononom Pangkat Ganjil y = 2x y = 2x 5 y = 2x 3 y x Pangkat ganjil terendah: linier Jika kurva-kurva ini memiliki nilai k yang sama maka mereka berpotongan di titik P[1,k] Makin tinggi pangkat mononom, makin landai kurva di sekitar titik [0,0] yaitu titik yang merupakan titik belok Kurva mononom pangkat ganjil simetris terhadap titik [0,0]

49 Mononom Pangkat Tiga y x Mononom pangkat tiga Simetris terhadap [0,0] y = 10(x  2) 3 y = 10(x  2) y = 10x x y Pergeseran mononom pangkat tiga ke arah sumbu-x positif Pergeseran ke arah sumbu-y positif

50 Polinom

51 Polinom Pangkat Dua y1=2x2y1=2x2 y 3 =13 y 2 =15x x -10 y y 1 =2x 2 y 4 = 2x 2 +15x y 2 =15x x =  15/2 y x Kurva masing-masing komponen (mononom) dari polinom: Penjumlahan mononom pertama dan ke-dua: Perpotongan dengan sumbu-x

52 y 4 = 2x 2 +15x  15/2 x y sumbu simetri  15/4 10 y 4 = 2x 2 +15x x y sumbu simetri y 5 = 2x 2 +15x Sumbu simetri dari memotong sumbu-x di: Penambahan komponen y 3 = 13 memberikan: Koordinat titik puncak:

53 y = ax 2 +bx +c y = ax 2 y x 0 0 Polinom Pangkat Dua secara umum x2x2 x1x1 Sumbu simetri: Pergeseran ke arah kiri sumbu-x Pergeseran ke arah negatif sumbu-y

54 Penjumlahan: y 3 = y 1 + y x y y1y1 y2y2 Polinom Pangkat Tiga: mononom pangkat tiga + polinom pangkat dua Mononom pangkat tiga (y 1 ) Dan Polinom pangkat dua (y 2 ) y x y1 = 4x3 y1 = 4x3 y 3 memotong sumbu-x di 3 titik Hal ini tidak selalu terjadi Tergantung dari nilai koefisien y 1

55 y2y2 y1y1 y 3 = y 1 + y Kasus: a kurang positif Penurunan kurva y 1 di daerah x negatif tidak terlalu tajam Kurva terlihat hanya memotong sumbu-x di 2 titik Titik potong ke-3 jauh di sumbu-x negatif y1y1 y2y2 y 3 = y 1 +y 2 Kasus: a terlalu positif Penurunan y 1 di daerah negatif sangat tajam Tak ada titik potong dengan sumbu di daerah x negatif Hanya ada satu titik potong di x positif

56 y 3 = y 1 + y 2 y1y1 y2y y 3 = y 1 + y a < 0 Kurva y 3 berpotongan dengan sumbu-x di tiga tiga tempat. Akan tetapi perpotongan yang ke-tiga berada jauh di daerah x positif Jika a terlalu negatif kurva berpotongan dengan sumbu-x di satu tempat

57

58 jika fungsi tidak berubah apabila x kita ganti dengan  x maka kurva fungsi tersebut simetris terhadap sumbu-y; jika fungsi tidak berubah apabila x dan y dipertukarkan, kurva funsi tersebut simetris terhadap garis-bagi kuadran I dan III. jika fungsi tidak berubah apabila y diganti dengan  y, kurva funsi tersebut simetris terhadap sumbu-x. jika fungsi tidak berubah jika x dan y diganti dengan  x dan  y, kurva fungsi tersebut simetris terhadap titik-asal [0,0]. Simetri

59 Nilai Peubah Dalam melihat bentuk-bentuk geometris hanya nilai-nyata dari y dan x yang kita perhatikan Kita menganggap bahwa bilangan negatif tidak memiliki akar, karena kita belum membahas bilangan kompleks Contoh: Apabila |x| > 1, maka (1 - x 2) < 0 Karena kurva ini simetris terhadap garis y = x, maka ia memiliki nilai juga terbatas pada rentang Dalam hal demikian ini kita membatasi x hanya pada rentang

60 Titik Potong Dengan Sumbu Koordinat Koordinat titik potong dengan sumbu-x dapat diperoleh dengan memberi nilai y = 0, sedangkan koordinat titik potong dengan sumbu-y diperoleh dengan memberi nilai x = 0. Apabila dengan cara demikian tidak diperoleh nilai y ataupun x maka kurva tidak memotong sumbu-x maupun sumbu-y Contoh: Titik potong dengan sumbu-x adalah P[1,0] dan Q[  1,0]. Titik potong dengan sumbu-y adalah R[0,1] dan S[0,  1] xy = 1 Kurva fungsi ini tidak memotong sumbu-x maupun sumbu-y

61 Asimptot Suatu garis yang didekati oleh kurva namun tidak mungkin menyentuhnya, disebut asimptot Contoh: tidak boleh 0 haruslah x 1 Tidak ada bagian kurva yang berada antara x = 0 dan x = 1. Garis vertikal x = 0 dan x = 1 adalah asimptot dari kurva y x

62 Jarak Antara Dua Titik Jika P[x p,y p ) dan Q[x q,y q ], maka Contoh: x y 0 [1,4] [3,8]

63 Parabola Bentuk kurva disebut parabola [0,0] y x y=kx 2 P terletak pada kurva Q terletak di sumbu-y y =  p garis sejajar sumbu-x R terletak pada garis y ada suatu nilai k sedemikian rupa sehingga PQ = PR Q disebut titik fokus parabola Garis y disebut direktrik Titik puncak parabola berada di tengah antara titik fokus dan direktriknya P[x,y] Q[0,p] R[x,  p]

64 Contoh: Parabola dapat kita tuliskan Direktrik: Titik fokus:Q[0,(0,5)]

65 Lingkaran Lingkaran merupakan tempat kedudukan titik-titik yang berjarak sama terhadap satu titik tertentu yang disebut titik pusat lingkaran Jika titik pusat lingkaran adalah [0,0] dan jari-jari lingkaran adalah r persamaan lingkaran berjari-jari r berpusat di [0.0] Pergeseran titikpusat lingkaran sejauh a kearah sumbu- x dan sejauh b ke arah sumbu- y Persamaan umum lingkaran berjari-jari r berpusat di (a,b)

66 1 1 0,5 [0,0] x y r = 1 r Contoh:

67 Elips Elips adalah tempat kedudukan titik yang jumlah jarak terhadap dua titik tertentu adalah konstan Dua titik tertentu tersebut merupakan dua titik fokus dari elips X[x,y] P[-c, 0] Q[c, 0] x y kwadratkan sederhanakan

68 X[x,y] P[-c, 0] Q[c, 0] x y [  a,0] [a,0] [0,b] [0,  b] sumbu panjang = 2a sumbu pendek = 2b Elips tergeser x y

69 Hiperbola Hiperbola merupakan tempat kedudukan titik-titik yang selisih jaraknya antara dua titik tertentu adalah konstan X(x,y) P[-c,0] Q[c,0] y x Dalam segitiga PXQ, selisih (XP  XQ) < PQ  2c < 2a  c 2  a 2 = b 2 kwadratkan dan sederhanakan kwadratkan persamaan hiperbola

70 ++  X(x,y) -c-c c y x [-a,0][a,0] Kurva tidak memotong sumbu-y Tidak ada bagian kurva yang terletak antara x =  a dan x = a

71 Kurva Berderajat Dua Parabola, lingkaran, elips, dan hiperbola adalah bentuk-bentuk khusus kurva berderajat dua, atau kurva pangkat dua Bentuk umum persamaan berderajat dua adalah Persamaan parabola: Lingkaran: F =  1 Bentuk Ax 2 dan Cy 2 adalah bentuk-bentuk berderajat dua yang telah sering kita temui pada persamaan kurva yang telah kita bahas. Namun bentuk Bxy yang juga merupakan bentuk berderajat dua, belum kita temui dan akan kita lihat berikut ini

72 Perputaran Sumbu Koordinat Hiperbola dengan titik fokus tidak pada sumbu-x Mempetukarkan x dengan y tidak mengubah persamaan ini. Kurva persamaan ini simetris terhadap garis y = x, Kurva hiperbola ini memiliki sumbu simetri yang terputar 45 o berlawanan dengan arah perputaran jarum jam, dibandingkan dengan sumbu simetri hiperbola sebelumnya, yaitu sumbu-x x y P[-a,-a] Q[a,a] y x X[x,y]X[x,y]

73

74 Untuk menjelaskan fungsi trigonometri, kita gambarkan lingkaran-satuan, r = 1 Fungsi sinus Fungsi Cosinus Fungsi Tangent Fungsi Cotangent Fungsi Secan Fungsi Cosecan P Q  O [0,0] 1 1 x y r = 1 P’ --

75 Relasi-Relasi sin   1 [0,0] 1 x y  cos  cos  cos  cos  sin   sin  sin  sin  cos 

76 Relasi-Relasi sin   1 [0,0] 1 x y  cos  cos  cos  cos  sin   sin  sin  sin  cos  Karena

77 Contoh:

78

79 Fungsi Trigonometri Normal

80 Kurva Fungsi Trigonometri Dalam Koordinat x-y perioda x y 22  x y   22 22 perioda pergeseran fungsi cosinus sejauh  /2 ke arah sumbu-x positif Contoh: Fungsi SinusFungsi Cosinus

81 Fungsi Tangent asimptot Rentang: -  /4 < tan  <  /4  /4 < tan  < 3  /4 dst. Lebar rentang:  /2

82 Fungsi Cotangent asimptot Rentang: 0 < tan  <  /2 -  /2 < tan  < 0 dst. Lebar rentang:  /2

83 Fungsi Secan Fungsi Cosecan ,5  -- -0,5  0 0,5  1,5  ,5  -- -0,5  0 0,5  1,5  Rentang: -  /2 < tan  <  /2  /2 < tan  < 3  /2 dst. Lebar rentang:  Rentang: 0 < tan  <  -  < tan  < 0 dst. Lebar rentang:  asimptot

84 Fungsi Trigonometri Inversi

85 Sinus Inversi x y   22 22 -0,5  -0,25  0 0,25  0,5  -0,500,51 x y Kurva lengkap Kurva nilai utama -  /2 < sin -1 x <  /2 -1 < x < 1 y x 1 Sudut y yang sinusnya = x

86 Cosinus Inversi x y   0 0,25  0,5  0,75  11 -0,500,51 x y Kurva lengkap Kurva nilai utama 0 < cos -1 x <  -1 < x < 1 y x 1

87 Tangent Inversi ,5  -- -0,5  0 0,5   1,5  y x -0,5  -0,25  0 0,25  0,5  x y Kurva lengkap Kurva nilai utama y x 1

88 Cotangent inversi dengan nilai utama 0 0,5  11 y x Kurva nilai utama y x 1

89 Secan Inversi dengan nilai utama 0 0,25  0,5  0,75   x y Kurva nilai utama y x 1

90 Cosecan Inversi y -0,5  -0,25  0 0,25  0,5  x Kurva nilai utama dengan nilai utama y x 1

91

92 Banyak peristiwa terjadi secara siklis sinusoidal yang merupakan fungsi waktu, seperti misalnya gelombang cahaya, gelombang radio pembawa, gelombang tegangan listrik sistem tenaga, dsb Oleh karena itu kita akan melihat fungsi sinus dengan menggunakan waktu, t, sebagai peubah bebas Tiga besaran karakteristik fungsi sinus sudut fasa frekuensi siklus amplitudo Selain frekuensi siklus, f 0, kita mengenal juga frekuensi sudut,  0, dengan hubungan

93 Hubungan antara frekuensi siklus dan perioda adalah: Karena fungsi sinus adalah fungsi periodik maka gabungan fungsi sinus juga merupakan fungsi periodik walaupun tidak berbentuk sinus. T0T0 -A-A 0 A 0 t y TsTs T0T0 -A-A 0 A 0 t y Fungsi sinus adalah fungsi periodik yaitu fungsi yang memenuhi hubungan perioda

94 Contoh: y y = 3 cos 2f 0 t t y y = cos 2f 0 t t y t Bentuk kurva gabungan fungsi sinus ditentukan oleh besaran karakteristik fungsi sinus penyusunnya Perbedaan amplitudo, frekuensi, dan sudut fasa menentukan bentuk gelombang gabungan

95 Bentuk kurva gabungan fungsi sinus ditentukan juga oleh jumlah komponen sinus yang terlibat Komponen-komponen sinus yang terlibat dalam pembentukan gelombang gabungan disebut harmonisa Komponen sinus dengan f 0 disebut komponen fundamental Di atas komponen fundamental adalah Harmonisa ke-2 dengan frekuensi 2f 0 Harmonisa ke-3 dengan frekuensi 3f 0 Harmonisa ke-4 dengan frekuensi 4f 0 dst. Gabungan fungsi sinus juga mungkin mengandung fungsi tetapan yang disebut komponen searah

96 sinus dasar (fundamental). Contoh: Gabungan fungsi sinus yang membentuk gelombang persegi hasil penjumlahan sampai pada harmonisa ke-21. harmonisa-3 dan sinus dasar + harmonisa-3. harmonisa-5 dan sinus dasar + harmonisa-3 + harmonisa-5. harmonisa-7 dan sinus dasar + harmonisa-3 + harmonisa-5 + harmonisa-7.

97 Spektrum Jika gabungan fungsi sinus membentuk gelombang periodik yang tidak berbentuk sinus (non-sinus) maka bentuk gelombang non-sinus dapat diuraikan menjadi komponen-komponen sinus Komponen-komponen sinus itu membentuk suatu spektrum. Ada dua spektrum yaitu Spektrum Amplitudo dan Spektrum Sudut-fasa Makin tinggi frekuensi harmonisa, makin rendah amplitudonya. Frekuensi tertinggi, f maks, adalah frekuensi harmonisa yang amplitudonya sudah dapat diabaikan. Frekuensi terendah, f min, adalah frekuensi komponen fundamental yaitu 1, atau 0 jika spektrum mengandung komponen searah Lebar Pita Lebar pita frekuensi suatu spektrum adalah selang frekuensi yang merupakan selisih f maks dan f min

98 Contoh: Frekuensi0f0f0 2 f 0 4 f 0 Amplitudo ,5 Sudut fasa  0  /2  Frekuensi [  f 0 ] Amplitudo 0  /2 22 Sudut Fasa Frekuensi [  f 0 ]  /2 22 Spektrum Sudut-fasa Spektrum Amplitudo Suatu persamaan gelombang:

99 Deret Fourier Penguraian suatu sinyal periodik menjadi suatu spektrum sinyal tidak lain adalah pernyataan fungsi periodik kedalam deret Fourier fungsi periodik Koefisien Fourier Contoh: T0T0 t y

100 T0T0 A t y T0T0 A t y

101

102

103 Bilangan Natural Logaritma natural adalah logaritma dengan menggunakan basis bilangan e Bilangan e ini, seperti halnya bilangan , adalah bilangan-nyata dengan desimal tak terbatas. Sampai dengan 10 angka di belakang koma, nilainya adalah e = 2,

104 Kurva y = ln x Fungsi Logaritma Natural Definisi ln x x ln x t y 1/t luas bidang antara fungsi 1/t dan sumbu-x yang dibatasi oleh t = 1 dan t = x 1234 x -2 -1,5 -0,5 0 0,5 1 1,5 2 0 y y = ln x e = 2, ….. e

105 Sifat-Sifat

106

107 Fungsi Eksponensial Antilogaritma Antilogaritma adalah inversi dari logaritma Fungsi Eksponensial Fungsi eksponensial yang sering kita jumpai adalah fungsi eksponensial dengan eksponen negatif Faktor u(x) membuat fungsi ini muncul pada x = 0 Namun demikian faktor ini biasa tidak lagi dituliskan dengan pengertian bahwa fungsi eksponensial tetap muncul pada t = 0

108 Kurva Fungsi Eksponensial x 0,511,522,533,54 0 0,2 0,4 0,6 0,8 1 0 y e  x e2xe2x Makin negatif eksponen fungsi ini, makin cepat ia menurun mendekati sumbu-x Penurunan kurva fungsi eksponensial ini sudah mencapai sekitar 36% dari nilai awalnya (yaitu nilai pada x = 0), pada saat x = 1/a Pada saat x = 5/a, kurva sudah sangat menurun mendekati sumbu-x, nilai fungsi sudah di bawah 1% dari nilai awalnya Oleh karena itu fungsi eksponensial biasa dianggap sudah bernilai nol pada x = 5/a

109 Persamaan umum fungsi eksponensial dengan amplitudo A dengan waktu sebagai peubah bebas adalah yang dituliskan dengan singkat  = 1/a disebut konstanta waktu makin kecil , makin cepat fungsi eksponensial menurun Pada saat t = 5 , nilai fungsi sudah di bawah 1% dari A fungsi eksponensial dianggap sudah bernilai nol pada t = 5 

110 Gabungan Fungsi Eksponensial t/t/ A

111

112 Fungsi Hiperbolik Definisi Kombinasi tertentu dari fungsi eksponensial membentuk fungsi hiperbolik, seperti cosinus hiperbolik (cosh) dan sinus hiperbolik (sinh) Fungsi hiperbolik yang lain

113 Kurva-Kurva Fungsi Hiperbolik x y

114 y x

115 y x

116 x y

117 x y

118 untuk sinh x dan cosh x terdapat hubungan Jika untuk sin x dan cos x kita kenal hubungan: Identitas Beberapa Identitas:

119

120 Relasi Koordinat Polar dan Koordinat Sudut-siku P[r,  ] [0,0] x y  r xPxP yPyP P(x P,y P )

121 Persamaan Kurva Dalam Koordinat Polar Persamaan lingkaran berjari-jari c berpusat di O[0,0] dalam koordinat sudut-siku adalah [0,0] x y Dalam koordinat polar persamaan ini menjadi

122 a [0,0] x y Persamaan lingkaran berjari-jari c berpusat di O[ a,0] dalam koordinat sudut-siku adalah Dalam koordinat polar perswamaan ini menjadi

123 Persamaan lingkaran berjari-jari c berpusat di O[a,b] dalam koordinat sudut-siku adalah Dalam koordinat polar perswamaan ini menjadi b a [0,0] x y  r

124 Contoh: y x r  P[r,  ] Bentuk ini disebut cardioid

125 Contoh:  y x r P[r,  ]

126 -0,5 0 0,5 1 1, x y  =   = 2   = 3   = 4  r  P[r,  ] y = 2 Contoh:

127 Persamaan Garis Lurus O y x l1l1 a r  P[r,  ]

128 O y x b l2l2 r 

129  l3l3 O y x  a A r 

130 l4l4 O y x  a r 

131 Parabola, Elips, Hiperbola Parabola: Eksentrisitas Eksentrisitas: D B  r P[r,  ] F titik fokus Dengan pengertian eksentrisitas ini kita dapat membahas sekaligus parabola, elips, dan hiperbola. Elips: (misal e s = 0,5) Hiperbola: (misal e s = 2) x y A direktriks k

132 Lemniskat dan Oval Cassini F1[a,]F1[a,] F 2 [a,0] P[r,  ] r   = 0  =   =  /2 Kurva-kurva ini adalah kurva pada kondisi khusus, yang merupakan tempat kedudukan titik-titik yang hasil kali jaraknya terhadap dua titik tertentu bernilai konstan Misalkan Buat b dan a berrelasi b = ka

133 Lemniskat Kondisi khusus: k = 1  = 0  =   =  /2 -0,6 -0,2 0 0,2 0,6 -1,5-0,500,511,5 Kondisi khusus: k > 1, misal k = 1,1  = 0  =   =  /2 -0,5 0 0, Kurva dengan a = 1

134 Oval Cassini Kondisi khusus: k < 1, misalkan k = 0,8  = 0  =   =  /2 -1,5 -0,5 0 0,5 1 1,

135 Bahan Kuliah Terbuka Fungsi dan Grafik Sudaryatno Sudirham


Download ppt "Fungsi dan Grafik Sudaryatno Sudirham Klik untuk melanjutkan."

Presentasi serupa


Iklan oleh Google