Presentasi sedang didownload. Silahkan tunggu

Presentasi sedang didownload. Silahkan tunggu

Dr. Ir. Yandra Arkeman, MEng Mata Kuliah Teknik Optimasi Departemen Teknologi Industri Pertanian Fateta - IPB Mei 2009 QUADRATIC PROGRAMMING & SEPARABLE.

Presentasi serupa


Presentasi berjudul: "Dr. Ir. Yandra Arkeman, MEng Mata Kuliah Teknik Optimasi Departemen Teknologi Industri Pertanian Fateta - IPB Mei 2009 QUADRATIC PROGRAMMING & SEPARABLE."— Transcript presentasi:

1 Dr. Ir. Yandra Arkeman, MEng Mata Kuliah Teknik Optimasi Departemen Teknologi Industri Pertanian Fateta - IPB Mei 2009 QUADRATIC PROGRAMMING & SEPARABLE PROGRAMMING

2 QUADRATIC PROGRAMMING merupakan prosedur yang meminimumkan fungsi kuadratik dengan n variabel terhadap m kendala linier (persamaan atau pertidaksamaan atau keduanya). Notasi QP: Minimumkanf(x)=c T x + ½ x T Qx (pers. 1) terhadapAx ≥ b x ≥ 0 Dimana: c adalah vektor dari koefisien konstan A adalah sebuah matriks (m x n), Dan diasumsikan bahwa Q adalah matriks simetris

3 QUADRATIC PROGRAMMING Notasi tsb dapat ditulis kembali, dimulai dgn persamaan Lagrange L = c T x + 1/2 x T Qx – v T (Ax-b)-u T x (pers. 2) ∆ x T L = c + Qx – A T v – u = 0 (pers. 3) variabel slack non-negatif y dapat dimasukan pada kendala Ax – b ≥ 0 sehingga Ax-b-y=0 atau y=Ax-b, sehingga c + Qx – A T v – u = 0(pers. 4) Ax - b - y = 0 (pers. 5) x ≥ 0u ≥ 0v ≥ 0y ≥ 0 (pers. 6) u T x = 0v T y = 0 (pers. 7) atau u T x + v T y = 0 (pers. 8) dimana u j dan v j merupakan pengali Lagrange dan y j adalah variabel slack. Variabel (x*, u*, v*, y*) yang memenuhi pers 4 sampai 8 merupakan solusi optimal

4 QUADRATIC PROGRAMMING Jika (x, u, v, y) merupakan solusi dari permasalahan QP (pers.1) maka f(x) ekivalen terhadap: f = ½ (c T x + b T y)(pers.9) minimisasi pers 9 terhadap pers 4 sampai pers 8 disebut juga sebagai linear complimentarity problem, yang solusinya merupakan solusi dari permasalahan QP (pers.1). Sebuah problema dengan kendala linear Ax ≥ b yang digantikan dengan Ax = b (pers.1) juga seringkali disebut problema Quadratic Programming. Jika Q positif semidifinit, sebuah dual problem dari pers.1 dapat diformulasikan Maksimumkan F = -1/2 zTQz + bTw(pers.10) terhadap Qz – ATw + p ≥ 0 w ≥ 0 z ≥ tidak terbatas maks F = min f pada x*.

5 QUADRATIC PROGRAMMING Beberapa Metode untuk menyelesaikan permasalahan Quadratic Programming: 1. LP Simplex – related 2. Active set strategy 3. Internal Representation of the feasible set’ 4. Shrinking ellipsoid

6 SEPARABLE PROGRAMMING  Persoalan (Problema tak linier) dapat diurai atau dipisah- pisahkan sesuai dengan jumlah variabel keputusan yang terkait  Persoalan tak linier pemecahannya dapat didekati dengan teknik pemecahan persoalan linier. Contoh: f(x 1,x 2 ) = x 1 3 – 2x x 1 + x 2 4 – x 2 Fungsi tersebut dapat dipisah menjadi 2 fungsi yang masing-masing merupakan fungsi dengan satu variabel f(x 1,x 2 ) = f 1 (x 1 ) + f 2 (x 2 ) f 1 (x1) = x 1 3 – 2x x 1 dan f 2 (x 2 ) = x 2 4 – x 2

7 SEPARABLE PROGRAMMING Pada rentang x k < x < x k+1, f(x) didekati dengan dimana: …………(1) Jika x berada pada rentang x k < x < x k+1, maka x = λ x k+1 + (1- λ) x k, untuk sembarang λ, 0 < λ < 1 Dari persamaan (1), untuk (x – x k ) diperoleh (x – x k ) = λ (x k+1 – x k ) Subsitusikan ke persamaan (1), diperoleh = λ f k+1 + (1 – λ) f k

8 SEPARABLE PROGRAMMING Jika ditetapkan λ = λ k+1 dan 1 – λ = λ k, ketika x k < x < x k+1 terdapat λk dan λ k+1 yang unik x = λ k x k + λ k+1 x k+1 = λ k f k + λ k+1 f k+1 λ k + λ k+1 = 1 Dimana λ, λ k+1 > 0 Untuk semua x, 0 < x < a dapat ditulis sebagai berikut: Dimana, λ k > 0, k= 0,1,2 …, r

9 SEPARABLE PROGRAMMING Fungsi separable yang kontinyu tak linier f(x 1, x 2, …, x n ) dapat didekati dengan pecahan fungsi linier dan dapat ditentukan dengan menggunakan teknik linear programming. f(x) ≈ Dimana 1. ; j=1, …, n 2. λ kj > 0; k = 0, …, r; j = 1, …, n 3. Tidak lebih dari dua yang terkait dengan satu variabel C lebih besar dari nol

10 SEPARABLE PROGRAMMING CONTOH SOAL: Maksimumkan: f(x) = 3x 1 + 2x 2 Kendala g(x) = 4x x 2 2 < 16 x 1, x 2 > 0

11 SEPARABLE PROGRAMMING PENYELESAIAN f = f 1 (x 1 ) + f 2 (x 2 ) Dimana f 1 (x 1 ) = 3x 1 f 2 (x 2 ) = 2x 2 Juga g = g 1 (x 1 ) + g 2 (x 2 ) dan g 1 (x 1 ) = 4x 1 2 g 2 (x 2 ) = x 2 2 Fungsi linier yang dipakai untuk menduga f adalah Fungsi perkiraan untuk g adalah

12 SEPARABLE PROGRAMMING kx k1 f k1 =3x k1 g k1 =4x k1 2 x k2 f k2 =2x k2 g k2 =x k2 2 00,0 10,51,51,0 2,01,0 2 3,04,02,04,0 31,54,59,03,06,09,0 42,06,016,04,08,016,0 Grid point dan nilai fungsi pada grid point

13 SEPARABLE PROGRAMMING Maksimumkan: f = 0,0λ ,5λ ,0λ ,5λ ,0λ ,0λ ,0λ ,0λ ,0λ ,0λ 42 Kendala g = 0,0λ ,0λ ,0λ ,0λ ,0λ ,0λ ,0λ ,0λ ,0λ ,0λ 42 < 16 λ 01 + λ 11 + λ 21 + λ 31 + λ 41 = 1 λ 02 + λ 12 + λ 22 + λ 32 + λ 42 = 1 λ 01, λ 11, λ 21, λ 31, λ 41 > 0 λ 02, λ 12, λ 22, λ 32, λ 42 > 0


Download ppt "Dr. Ir. Yandra Arkeman, MEng Mata Kuliah Teknik Optimasi Departemen Teknologi Industri Pertanian Fateta - IPB Mei 2009 QUADRATIC PROGRAMMING & SEPARABLE."

Presentasi serupa


Iklan oleh Google