Presentasi sedang didownload. Silahkan tunggu

Presentasi sedang didownload. Silahkan tunggu

BAB VIII RUANG HASILKALI DALAM (lanjutan). 8.4 Matris Ortogonal ; Perubahan Basis Definisi Sebuah matriks persegi A yang memiliki sifat A –1 = A T disebut.

Presentasi serupa


Presentasi berjudul: "BAB VIII RUANG HASILKALI DALAM (lanjutan). 8.4 Matris Ortogonal ; Perubahan Basis Definisi Sebuah matriks persegi A yang memiliki sifat A –1 = A T disebut."— Transcript presentasi:

1 BAB VIII RUANG HASILKALI DALAM (lanjutan)

2 8.4 Matris Ortogonal ; Perubahan Basis Definisi Sebuah matriks persegi A yang memiliki sifat A –1 = A T disebut sebagai matriks ortogonal. Dari definisi kita dapat menyimpulkan bahwa suatu matrik persegi dikatakan ortogonal jika dan hanya jika AA T = A T A = I

3 Contoh 8.12 Buktikan bahwa matriks ortogonal Bukti

4 Karena A T A = I, maka terbukti bahwa matriks A adalah matriks ortogonal

5 Teorema Pernyataan-pernyataan berikut adalah ekivalen untuk sebuah matriks A, n x n. a) A adalah matriks ortogonal b)Vektor-vektor baris matriks A membentuk sebuah himpunan ortonormal pada R n yang memiliki hasilkali dalam Euclidean. c) Vektor-vektor kolom A membentuk sebuah himpunan ortonormal pada R n yang memiliki hasilkali dalam Euclidean.

6 Contoh 8.13 Tunjukkan bahwa adalah ortogonal dengan menunjukkan: a) vektor-vektor baris matriks A membentuk sebuah himpunan ortonormal pada R 2 b)vektor-vektor kolom matriks A membentuk sebuah himpunan ortonormal pada R 2 Penyelesaian

7 Karena 〈r 1, r 2 〉 = 0 dan ||r 1 || = ||r 2 || = 1, berarti vektor- vektor baris dari matriks A membentuk suatu himpunan ortonormal. a)

8 b) Karena 〈c 1, c 2 〉 = 0 dan ||c 1 || = ||c 2 || = 1, berarti vektor- vektor kolom dari matriks A membentuk suatu himpunan ortonormal.

9 Teorema a) Invers dari sebuah matriks matriks ortogonal adalah sebuah matriks ortogonal b)Hasilkali matriks-matriks ortogonal akan menghasilkan sebuah matriks ortogonal c)Jika A ortogonal, maka det (A) = 1 atau det (A) = –1

10 Contoh 8.14 Telah ditunjukkan pada contoh 8.13 bahwa adalah ortogonal, sehingga berdasarkan teorema c, det (A) = 1 atau det (A) = –1

11 8.4.1 Matriks Koordinat Dari teorema sebelumnya, jika S = {v 1, v 2, …, v n } adalah sebuah basis untuk suatu ruang vektor V, maka setiap vektor v didalam V dapat dinyatakan secara unik sebagai sebuah kombinasi linier dari vektor-vektor basis, v = k 1 v 1 + k 2 v 2 + … + k n v n Skalar k 1, k 2, …, k n adalah koordinat-koordinat v relatif terhadap S dan vektor (v) S = (k 1, k 2, …, k n ) adalah vektor koordinat dari v relatif terhadap S. Jika (v) S ditulis dalam bentuk matriks n x 1, maka

12 Jika (v) S ditulis dalam bentuk matriks n x 1, Selanjutnya [v] S didefinisikan sebagai matriks koordinat dari vektor v relatif terhadap S Contoh 8.15 Tentukan matriks koordinat v relatif terhadap S = {v 1, v 2, v 3 } jika v = (2, –1, 3); v 1 = (1, 0, 0), v 2 = (2, 2, 0), v 3 = (3, 3, 3,) Penyelesaian

13 v = k 1 v 1 + k 2 v 2 + k 3 v 3 (2, –1, 3) = k 1 (1, 0, 0) + k 2 (2, 2, 0) + k 3 (3, 3, 3) k 1 + 2k 2 + 3k 3 = 2 0k 1 + 2k 2 + 3k 3 = –1 0k 1 + 0k 2 + 3k 3 = 3

14


Download ppt "BAB VIII RUANG HASILKALI DALAM (lanjutan). 8.4 Matris Ortogonal ; Perubahan Basis Definisi Sebuah matriks persegi A yang memiliki sifat A –1 = A T disebut."

Presentasi serupa


Iklan oleh Google